Zagadnienie własne dla operatora Laplace’a
| Ten artykuł należy dopracować: → poprawić styl – powinien być encyklopedyczny, z podręcznikowego na encyklopedyczny. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Operator T odwrotny do operatora Laplace’a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.
gdzie jest wartością własną operatora Laplace’a, a funkcja funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że Zdefiniujmy operator:
następująco:
tj. jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.
Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace’a
- Operator jest dobrze określony, liniowy, ciągły.
- Operator jest zwarty.
- Operator jest samosprzężony.
Wartości własne operatora Laplace’a
Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:
- Wszystkie wartości własne operatora Laplace’a na ograniczonym obszarze są dodatnie, mają skończone krotności, a jest punktem skupienia wartości własnych.
- Istnieje baza ortonormalna przestrzeni złożona z funkcji własnych laplasjanu.
- p
- d
- e
zwyczajne | |
---|---|
cząstkowe | |
metody rozwiązań | |
powiązane pojęcia |
|
twierdzenia | |
powiązane nauki | |
badacze |
|