Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:
gdzie – początkowy rozkład temperatury w przestrzeni, – szukana zależność rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili czasu
Rozwiązanie równania przewodnictwa
Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności
Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:
Można sprawdzić, że spełnia ono:
Jeśli funkcja jest ciągła i ograniczona to funkcja
jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy
Używając pojęcia splotu można napisać:
Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła
Przypuśćmy, że ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest Wówczas
dla każdego Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każdego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej[1]:
Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10−11 s dla aluminium, 10−6 s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m²/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.
Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła
Niech ustalony czas, oraz ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy oraz Wówczas
Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i „uśredniać”, zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.
Wyprowadzenie równania przewodnictwa
Interpretujemy funkcję jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.
Ponadto zakładamy, że każdy obszar ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:
A z twierdzenie Gaussa:
gdzie oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:
Z dowolności mamy:
czyli:
Poprawność zagadnienia
W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.
W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.