Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.
Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania
[1][2]:
![{\displaystyle H\left(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},{\frac {\partial S}{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{f}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cdceada8817d4cc6ad6802d01fb9a9a321faf2)
gdzie
opisuje transformację
![{\displaystyle p_{l}={\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q_{l}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad2f9e6dcfb37336ab7b0a49f7462fa04ac7b8c)
![{\displaystyle Q_{l}={\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial P_{l}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807454694697f805dfc138063506f5ae70c5a83a)
która daje rozwiązania równań ruchu, w których
i
pełnią rolę stałych całkowania.
Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava Jacobiego[3].
Wyprowadzenie
Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona
| | ![{\displaystyle {\dot {q}}_{l}={\frac {\partial H}{\partial p_{l}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e94926db6e4227f6a333c8e380ef0750d0e25c9) | | |
| | ![{\displaystyle {\dot {p}}_{l}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{l}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ffc4a2b37d05374e81bbddddf33e5d1c12b9be) | | (1) |
- dla
![{\displaystyle l=1,2,\dots ,f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec398c25df6daeaff89ab75539f0902501cf57f)
Jeżeli przekształcenie kanoniczne
| | ![{\displaystyle q_{l}=q_{l}(Q,P,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4106d3363d0c7d98d018de6fc8105d46d297a985) | | |
| | ![{\displaystyle p_{l}=p_{l}(Q,P,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ce96c0084af71d989a44c6001311b9d653bfcb) | | (2) |
prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np.
| | ![{\displaystyle {\bar {H}}(Q,P,t)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4221a8b36993d2d3813f1c5edce7ae6b2f81464c) | | (3) |
równania Hamiltona przybierają postać
| | ![{\displaystyle {\dot {Q}}_{l}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial P_{l}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f63e24d7cdc8dae531672c1d033aa390ee87b5) | | |
| | ![{\displaystyle {\dot {P}}_{l}=-{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial Q_{l}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c647e0ae1d65e2e3ca1c4eb41a429f081edbcb88) | | (4) |
Ich rozwiązaniem jest więc po prostu
| | ![{\displaystyle Q_{l}=\operatorname {const} =\alpha _{l},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ddea30613a50be431b631d7e772d82e44e59d1f) | | |
| | ![{\displaystyle P_{l}=\operatorname {const} =\beta _{l},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf6cdb2aebdb740ac82366cc08d631ffb5a5a7d) | | (5) |
gdzie
i
są stałymi całkowania.
Podstawiając te rozwiązania do transformacji (2) otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych
i
| | ![{\displaystyle q_{l}=q_{l}(\alpha ,\beta ,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f6d2aa0ef99d9f132d4a330552eb496a0ef820) | | |
| | ![{\displaystyle p_{l}=p_{l}(\alpha ,\beta ,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943aed69917ad3a70c7535345739411c0f19bc66) | | (6) |
stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych
| | ![{\displaystyle q_{l}(Q,P,t_{0})=q_{l0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4de2b668a4a50549dbceb5221ea9742d9ac63f) | | |
| | ![{\displaystyle p_{l}(Q,P,t_{0})=p_{l0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba1a2a9cf077c1120ad34d5137b77dc758ca270) | | (7) |
problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.
Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem
| | ![{\displaystyle p_{l}={\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q_{l}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad2f9e6dcfb37336ab7b0a49f7462fa04ac7b8c) | | |
| | ![{\displaystyle Q_{l}={\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial P_{l}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807454694697f805dfc138063506f5ae70c5a83a) | | (8) |
gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest
| | ![{\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}S}{\partial q_{k}\partial P_{l}}}\right|\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf008f622eb78194a0d693a0c53fc5ff9e6311a) | | |
i wykorzystując (5) otrzymujemy
| | ![{\displaystyle p_{l}={\frac {\partial S(q,\beta ,t)}{\partial q_{l}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1167e6368ee999bf9f6ec562a94f9d5cc432c66d) | | |
| | ![{\displaystyle \alpha _{l}={\frac {\partial S(q,\beta ,t)}{\partial \beta _{l}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d2cb76e68c0be18cce2e8084b2bef7a7adfed6) | | (9) |
Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji (8) zmianę hamiltonianu opisuje wzór
| | ![{\displaystyle {\bar {H}}(Q,P,t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69d035be5f0bb30df803e51fb50859902879e43) | | (10) |
można rozwinąć (3) do postaci
| | ![{\displaystyle H(q,p,t)+{\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial t}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edcd5e852983cf185b32549c9587f59c97cca503) | | (11) |
Wreszcie wstawiając (8) otrzymuje się równanie Hamiltona-Jacobiego[3]:
| | ![{\displaystyle H\left(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},{\frac {\partial S}{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{f}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470c9e77657067a778c148a1c2061b8c7a4d9e9d) | | (12) |
Przypisy
- ↑ W.I. Arnold: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: PWN, 1981, s. 231–233. ISBN 83-01-00143-7.
- ↑ Hamiltona–Jacobiego równanie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-14] .
- ↑ a b Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1995, s. 204, 245–246, 253–255. ISBN 83-01-08635-1.
- NE.se: hamilton-jacobis-ekvation
- Catalana: 0032082