Pochodna Gâteaux

Pochodna Gâteaux lub różniczka Gâteaux, czyt. ~ ˈɡa.tɔ ( odsłuchaj) – uogólnienie pojęcia pochodnej kierunkowej znanego z rachunku różniczkowego. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, René Gâteaux. Pochodną tę definiuje się w przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie wypukłych takich jak przestrzenie Banacha. Podobnie jak pochodna Frécheta, pochodna Gâteaux służy często sformalizowaniu pochodnej funkcjonalnej używanej powszechnie w rachunku wariacyjnym i fizyce.

W przeciwieństwie do innych rodzajów pochodnych, różniczka Gâteaux funkcji może być nieliniowa. Często w definicji różniczki Gâteaux wymaga się jednak, by była przekształceniem liniowym nieciągłym. Niektórzy autorzy, np. Tichomirow^[1], odróżniają różniczkę Gâteaux (która może być nieliniowa) od pochodnej Gâteaux (o której zakładają, iż jest liniowa). W większości zastosowań ciągłość liniowa wynika z pierwotniejszego, a przy tym naturalnego w danej sytuacji warunku, np. założenie różniczkowalności zespolonej w kontekście nieskończeniewymiarowej holomorficzności czy różniczkowalności w sposób ciągły w analizie nieliniowej.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi (np. przestrzeniami Banacha), dany zbiór otwarty ${\displaystyle U\subseteq X}$ oraz funkcja ${\displaystyle F\colon X\to Y.}$ Różniczkę Gâteaux ${\displaystyle \operatorname {d} F(u;\psi )}$ funkcji ${\displaystyle F}$ w punkcie ${\displaystyle u\in U}$ i kierunku ${\displaystyle \psi \in X}$ definiuje się jako

${\displaystyle \operatorname {d} \!F(u;\psi )=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0},}$

o ile granica ta istnieje. Jeżeli istnieje ona dla wszystkich ${\displaystyle \psi \in X,}$ to mówi się, że ${\displaystyle F}$ jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie ${\displaystyle u.}$

Granicę w definicji wzięto w sensie topologii ${\displaystyle Y.}$ Jeżeli ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są rzeczywistymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi, to ${\displaystyle \tau }$ w granicy są wartościami rzeczywistymi. Z drugiej strony, jeżeli przestrzenie te są zespolone, to w powyższej granicy przyjmuje się ${\displaystyle \tau \to 0}$ na płaszczyźnie zespolonej, jak ma to miejsce w definicji różniczki zespolonej. W pewnych przypadkach zamiast mocnej granicy bierze się w zamian słabą granicę, co prowadzi do pojęcia słabej pochodnej Gâteaux.

Liniowość i ciągłość

W każdym punkcie ${\displaystyle u\in U}$ różniczka Gâteaux definiuje funkcję

${\displaystyle \operatorname {d} \!F(u;\cdot )\colon X\to Y.}$

Jest ona jednorodna w tym sensie, iż dla wszystkich skalarów ${\displaystyle \alpha }$ zachodzi równość

${\displaystyle \operatorname {d} \!F(u;\alpha \psi )=\alpha \operatorname {d} \!F(u;\psi ).}$

Funkcja ta nie musi być jednak addytywna, tak więc w przeciwieństwie do różniczki Frécheta różniczka Gâteaux może nie być liniowa. Nawet jeżeli będzie ona liniowa, to może nie zależeć w sposób ciągły od ${\displaystyle \psi ,}$ co może mieć miejsce, gdy ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ są nieskończeniewymiarowe. Co więcej, istnieje kilka nierównoważnych sposobów określenia różniczkowalności w sposób ciągły tych różniczek Gâteaux, które są liniowe i ciągłe w ${\displaystyle \psi .}$

Niech dana będzie na przykład funkcja ${\displaystyle F}$ dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych określona wzorem

${\displaystyle F(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}},&{\mbox{gdy }}(x,y)\neq (0,0);\\0,&{\mbox{gdy }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}}$

Jest ona różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie ${\displaystyle (0,0),}$ przy czym jej różniczką w tym punkcie jest

${\displaystyle \operatorname {d} \!F(0,0;a,b)={\begin{cases}{\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&{\mbox{dla }}(a,b)\neq (0,0);\\0&{\mbox{dla }}(a,b)=(0,0).\end{cases}}}$

Wprawdzie jest ona ciągła, ale nie jest liniowa ze względu na argumenty ${\displaystyle (a,b).}$ W przypadku nieskończeniewymiarowym dowolny funkcjonał liniowy nieciągły jest różniczkowalny w sensie Gâteaux; choć jego różniczka Gâteaux w ${\displaystyle 0}$ jest liniowa, to jednak nie jest ciągła.

Związek z pochodną Frécheta

Jeżeli ${\displaystyle F}$ jest różniczkowalna w sensie Frécheta, to jest różniczkowalna także w sensie Gâteaux, przy czym pochodne te są równe. Sytuacja odwrotna w ogólności nie zachodzi, ponieważ pochodna Gâteaux może nie być liniowa lub ciągła. W rzeczywistości jest nawet możliwe, by pochodna Gâteaux była tak liniowa, jak i ciągła, ale pochodna Frécheta nie istniała.

Jednakże dla funkcji ${\displaystyle F}$ z zespolonej przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ w inną zespoloną przestrzeń Banacha ${\displaystyle Y}$ pochodna Gâteaux (gdzie granica brana jest przy zespolonym parametrze ${\displaystyle \tau }$ zbiegającym do zera jak to jest w definicji różniczkowalności zespolonej) jest koniecznie liniowa, o czym mówi twierdzenie Zorna^[2]. Więcej, jeżeli ${\displaystyle F}$ jest różniczkowalna w (zespolonym) sensie Gâteaux w każdym punkcie ${\displaystyle u\in U,}$ gdzie pochodna dana jest wzorem

${\displaystyle \operatorname {d} \!F(u)\colon \psi \mapsto \operatorname {d} \!F(u;\psi ),}$

to ${\displaystyle F}$ jest różniczkowalna w sensie Frécheta na ${\displaystyle U,}$ a jej różniczką Frécheta jest ${\displaystyle \operatorname {d} \!F}$^[3]. Jest to odpowiednik wyniku elementarnej analizy zespolonej, mianowicie: funkcja jest analityczna, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym na zbiorze otwartym; przy czym jest to podstawowym wynik holomorficzności nieskończeniewymiarowej.

Różniczkowalność w sposób ciągły

Różniczkowalność w sensie Gâteaux w sposób ciągły może być określona na dwa nierównoważne sposoby. Niech ${\displaystyle F\colon U\to Y}$ będzie różniczkowalna w sensie Gâteaux w każdym punkcie zbioru otwartego ${\displaystyle U.}$ Jedno z podejść do różniczkowalności w sposób ciągły na ${\displaystyle U}$ wymaga, aby odwzorowanie z przestrzeni produktowej

${\displaystyle \operatorname {d} \!F\colon U\times X\to Y}$

było ciągłe. Założenie liniowości jest zbędne: jeżeli ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ są przestrzeniami Frécheta, to ${\displaystyle \operatorname {d} \!F(u;\cdot )}$ jest automatycznie ograniczone i liniowe dla wszystkich ${\displaystyle u}$^[4].

W mocniejszym z pojęć różniczkowalności w sposób ciągły wymaga się, aby

${\displaystyle u\mapsto \operatorname {d} \!F(u)}$

było odwzorowaniem ciągłym

${\displaystyle U\to \operatorname {L} (X,Y)}$

z ${\displaystyle U}$ w przestrzeń ciągłych funkcji liniowych z ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle Y.}$ Należy zauważyć, że czyni to zadość liniowości ${\displaystyle \operatorname {d} \!F(u).}$

Ze względu na to, że drugie pojęcie jest dogodniejsze technicznie, to właśnie je zwykle (lecz nie zawsze) stosuje się w przypadku, gdy przestrzenie ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są Banacha, ponieważ wtedy ${\displaystyle \operatorname {L} (X,Y)}$ również jest Banacha, co umożliwia posiłkowanie się metodami analizy funkcjonalnej. Pierwszą z definicji spotyka się częściej w tych obszarach analizy nieliniowej, w których rozpatrywane przestrzenie funkcyjne niekoniecznie są Banacha. Na przykład różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta ma zastosowania takie jak twierdzenie Nasha-Mosera o funkcji odwrotnej, w którym rozważane przestrzenie funkcyjne często składają się z funkcji gładkich określonych na rozmaitości.

Pochodne wyższych rzędów

Pochodne Frécheta wyższych rzędów definiuje się w sposób naturalny jako funkcje wieloliniowe ze względu na iterację przy pomocy izomorfizmów ${\displaystyle \operatorname {L} ^{n}(X,Y)=\operatorname {L} (X,\operatorname {L} ^{n-1}(X,Y)).}$ Pochodnych Gâteaux wyższych rzędów nie można jednak definiować w ten sposób, w zamian pochodną Gâteaux ${\displaystyle n}$-tego rzędu funkcji ${\displaystyle F\colon U\subseteq X\to Y}$ w kierunku ${\displaystyle h}$ definiuje się jako

${\displaystyle \operatorname {d} ^{n}\!F(u;h)=\left.{\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\operatorname {d} \!\tau ^{n}}}F(u+\tau h)\right|_{\tau =0}.}$

Choć funkcja ta nie jest ona wieloliniowa, to jest ona jednorodna stopnia ${\displaystyle n}$ w punkcie ${\displaystyle h.}$

Innym kandydatem na definicję pochodnej wyższego rzędu jest funkcja

${\displaystyle \operatorname {D} ^{2}\!F(u)\{h,k\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {\operatorname {D} \!F(u+\tau k)h-\operatorname {D} \!F(u)h}{\tau }}=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau \partial \sigma }}F(u+\sigma h+\tau k)\right|_{\tau =\sigma =0},}$

która pojawia się w naturalny sposób w rachunku wariacyjnym jako druga wariacja funkcji ${\displaystyle F,}$ przynajmniej w przypadku szczególnym, gdy ${\displaystyle F}$ ma wartości skalarne. Może ona jednak nie mieć żadnych rozsądnych własności poza jednorodnością oddzielnie ze względu na każdy z parametrów ${\displaystyle h}$ oraz ${\displaystyle k.}$ Dogodne są wtedy dodatkowe warunki dostateczne zapewniające o tym, że ${\displaystyle \operatorname {D} ^{2}\!F(u)\{h,k\}}$ jest symetryczną funkcją dwuliniową zmiennych ${\displaystyle h}$ i ${\displaystyle k}$ oraz że zgadza się ona z polaryzacją ${\displaystyle \operatorname {d} ^{n}\!F.}$

Na przykład spełniony jest następujący warunek dostateczny^[4]. Niech ${\displaystyle F}$ będzie klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w sensie, iż odwzorowanie

${\displaystyle \operatorname {D} \!F\colon U\times X\to Y}$

jest ciągłe względem topologii produktowej i, co więcej, że druga pochodna określona powyższym wzorem jest również ciągła w tym sensie, iż odwzorowanie

${\displaystyle \operatorname {D} ^{2}\!F\colon U\times X\times X\to Y}$

jest ciągłe. Wówczas przekształcenie ${\displaystyle \operatorname {D} ^{2}\!F(u)\{h,k\}}$ jest dwuliniowe i symetryczne ze względu na ${\displaystyle h}$ i ${\displaystyle k.}$ Tożsamość polaryzacyjna jest spełniona na mocy dwuliniowości:

${\displaystyle \operatorname {D} ^{2}\!F(u)\{h,k\}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {d} ^{2}\!F(u;h+k)-\operatorname {d} ^{2}\!F(u;h)-\operatorname {d} ^{2}\!F(u;k),}$

wiążąc pochodną drugiego rzędu ${\displaystyle \operatorname {D} ^{2}\!F(u)}$ z różniczką ${\displaystyle \operatorname {d} ^{2}\!F(u,\cdot ).}$ Podobne wnioski są prawdziwe dla pochodnych wyższych rzędów.

Własności

Dla funkcji ${\displaystyle F,}$ o której przyjmie się, iż jest dostatecznie różniczkowalna w sposób ciągły, zachodzi pewna wersja podstawowego twierdzenia rachunku całkowego; dokładniej:

Twierdzenie podstawowe

Niech ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ będzie klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w tym sensie, iż pochodna Gâteaux jest funkcją ciągłą ${\displaystyle \operatorname {d} \!F\colon U\times X\to Y.}$ Wówczas dla dowolnych ${\displaystyle u\in U}$ oraz ${\displaystyle h\in X}$ jest

${\displaystyle F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}\operatorname {d} \!F(u+th;h)\,\operatorname {d} \!t,}$

gdzie symbol całki oznacza całkę Gelfanda-Pettisa (słabą całkę).

Z powyższego wynika także wiele znanych, porządnych własności pochodnej – w tym wieloliniowość i przemienność pochodnych wyższego stopnia. Innymi własnościami, również wynikającymi z twierdzenia podstawowego, są:

Reguła łańcuchowa

${\displaystyle \operatorname {d} \!(G\circ F)(u;x)=\operatorname {d} \!G(F(u);\operatorname {d} \!F(u;x))}$

dla dowolnych ${\displaystyle u\in U}$ oraz ${\displaystyle x\in X.}$

Twierdzenie Taylora z resztą

Niech odcinek między ${\displaystyle u\in U}$ a ${\displaystyle u+h}$ zawiera się całkowicie w ${\displaystyle U.}$ Wówczas jeżeli ${\displaystyle F}$ jest klasy ${\displaystyle C^{k},}$ to

${\displaystyle F(u+h)=F(u)+\operatorname {d} \!F(u;h)+{\tfrac {1}{2!}}\operatorname {d} ^{2}\!F(u;h)+\ldots +{\tfrac {1}{(k-1)!}}\operatorname {d} ^{k-1}\!F(u;h)+R_{k},}$

gdzie wyraz reszty dany jest jako

${\displaystyle R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}\operatorname {d} ^{k}\!F(u+th;h)\,\operatorname {d} \!t.}$

Przykłady

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem określonych na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue’a ${\displaystyle \Omega }$ przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Funkcjonał

${\displaystyle E\colon X\to \mathbb {R} }$

dany wzorem

${\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F\left(u(x)\right)\operatorname {d} \!x,}$

gdzie ${\displaystyle F}$ jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, przy czym ${\displaystyle F'=f,}$ a ${\displaystyle u}$ przyjmująca wartości rzeczywiste jest określona na ${\displaystyle \Omega ,}$ ma pochodną Gâteaux

${\displaystyle \operatorname {d} \!E(u,\psi )=\langle f(u),\psi \rangle .}$

Rzeczywiście,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )\operatorname {d} \!x-\int _{\Omega }F(u)\operatorname {d} \!x\right)\\&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!s}}F(u+s\tau \psi )\,\operatorname {d} \!s\,\operatorname {d} \!x\right)\\&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,\operatorname {d} \!s\,\operatorname {d} \!x.\end{aligned}}}$

Jeżeli ${\displaystyle \tau \to 0}$ w powyższej równości, to pochodna Gâteaux

${\displaystyle \operatorname {d} \!E(u,\psi )=\int _{\Omega }f{\big (}u(x){\big )}\psi (x)\,\operatorname {d} \!x,}$

jest iloczynem wewnętrznym ${\displaystyle \langle f,\psi \rangle .}$

Zobacz też

• quasi-pochodna
• różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta

Przypisy

Bibliografia

• René Gâteaux. Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. „Comptes rendus de l’academie des sciences”. 157, s. 325–327, 1913. Paryż. [dostęp 2006-07-30]. 
• René Gâteaux. Fonctions d’une infinité de variables indépendantes. „Bulletin de la Société Mathématique de France”. 47, s. 70–96, 1919. 
• Einar Hille, Ralph S. Phillips: Functional analysis and semi-groups. Providence, RI: American Mathematical Society, 1974. MSN 0423094. Brak numerów stron w książce