Holomorficzność nieskończeniewymiarowa

Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać ją za część nieliniowej analizy funkcjonalnej.

Pierwszym krokiem w rozszerzaniu teorii funkcji holomorficznych na więcej niż jeden wymiar zespolony jest rozważanie tzw. funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych, które nadal są określone na płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ lecz przyjmują wartości w przestrzeniach Banacha. Tego rodzaju funkcje są istotne na przykład podczas budowania holomorficznej analizy funkcjonalnej (ang. holomorphic functional calculus) dla ograniczonych operatorów liniowych.

Funkcję ${\displaystyle f\colon U\to X}$ określoną na podzbiorze otwartym ${\displaystyle U}$ płaszczyzny zespolonej o wartościach w zespolonej przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ nazywa się holomorficzną, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym, tzn. dla każdego punktu ${\displaystyle z\in U}$ istnieje granica

${\displaystyle f'(z)=\lim _{\zeta \to z}~{\frac {f(\zeta )-f(z)}{\zeta -z}}.}$

Całkę krzywoliniową funkcji holomorficznej ${\displaystyle f\colon U\to X}$ o wartościach wektorowych wzdłuż krzywej prostowalnej ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to U}$ można zdefiniować w dokładnie ten sam sposób, co dla funkcji holomorficznych o wartościach zespolonych – jako granicę sum postaci

${\displaystyle \sum _{1\leqslant k\leqslant n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})),}$

gdzie ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b}$ jest podziałem przedziału ${\displaystyle [a,b],}$ przy długościach podziałów dążących do zera.

Sprawdza się, że twierdzenie podstawowe Cauchy’ego zachodzi również dla funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych. Istotnie, jeżeli ${\displaystyle f\colon U\to X}$ jest taką funkcją i ${\displaystyle T\colon X\to \mathbb {C} }$ jest ograniczonym operatorem liniowym, to można wykazać, iż

${\displaystyle T\left(\int _{\gamma }f(z)\,\operatorname {d} z\right)=\int _{\gamma }(T\circ f)(z)\,\operatorname {d} z.}$

Więcej, złożenie funkcji ${\displaystyle T\circ f\colon U\to \mathbb {C} }$ jest funkcją holomorficzną o wartościach zespolonych, stąd dla krzywej zwykłej zamkniętej, której wnętrze zawiera się w ${\displaystyle U,}$ całka po prawej stronie jest równa zeru z klasycznego twierdzenia podstawowego Cauchy’ego. Zatem, ponieważ ${\displaystyle T}$ jest dowolny, to z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,\operatorname {d} z=0,}$

co kończy dowód twierdzenia podstawowego Cauchy’ego w przypadku funkcji o wartościach wektorowych.

Za pomocą tego silnego narzędzia można dowieść wzoru całkowego Cauchy’ego oraz tego, tak jak w przypadku klasycznym, że każda funkcja holomorficzna o wartościach wektorowych jest analityczna.

Użytecznym kryterium na holomorficzność funkcji ${\displaystyle f\colon U\to X}$ jest, że ${\displaystyle T\circ f\colon U\to \mathbb {C} }$ jest funkcją holomorficzną o wartościach wektorowych dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego ${\displaystyle T\colon X\to \mathbb {C} .}$ Taka funkcja ${\displaystyle f}$ jest słabo holomorficzna. Można wykazać, że funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej o wartościach w przestrzeni Frécheta jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo holomorficzna.

Ogólniej, dla danych dwóch przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego ${\displaystyle U}$ w ${\displaystyle X}$ funkcję ${\displaystyle f\colon U\to Y}$ nazywa się holomorficzną, jeżeli w każdym punkcie ${\displaystyle U}$ istnieje pochodna Frécheta funkcji ${\displaystyle f.}$ W tym ogólniejszym kontekście również można pokazać, że funkcja holomorficzna także jest analityczna, tzn. może być lokalnie rozwinięta w szereg potęgowy. Nie jest jednak już prawdą, że jeżeli funkcja jest określona i holomorficzna w pewnej kuli, to szereg potęgowy wokół środka tej kuli jest zbieżny w całej kuli; np. istnieją funkcje holomorficzne określone na całej przestrzeni o skończonym promieniu zbieżności^[1].

W pełnej ogólności, dla danych dwóch przestrzeni liniowo-topologicznych ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego ${\displaystyle U}$ w ${\displaystyle X}$ istnieje wiele sposobów definiowania holomorficzności funkcji ${\displaystyle f\colon U\to Y.}$ W przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego, gdy ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y}$ są nieskończonego wymiaru, własności funkcji holomorficznych mogą zależeć od wybranej definicji. Aby ograniczyć liczbę rozważanych przypadków omówiona zostanie holomorficzność w przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są lokalnie wypukłe.

Sekcja ta przedstawia listę definicji pojęcia od najsłabszego do najsilniejszego. Kończy się ona dyskusją na temat niektórych twierdzeń wiążących wspomniane definicje, gdy przestrzenie ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ spełniają pewne dodatkowe warunki.

Holomorficzność Gâteaux jest bezpośrednim uogólnieniem słabej holomorficzności na w pełni nieskończeniewymiarowy przypadek.

Niech ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi, a ${\displaystyle U\subseteq X}$ będzie zbiorem otwartym. Funkcja ${\displaystyle f\colon U\to Y}$ jest holomorficzna w sensie Gâteaux, jeżeli dla dowolnych ${\displaystyle a\in U}$ oraz ${\displaystyle b\in X}$ i każdego ciągłego funkcjonału liniowego ${\displaystyle \varphi }$ określonego na ${\displaystyle Y}$ funkcja

${\displaystyle f_{\phi }(z)=\phi \circ f(a+zb)}$

jest funkcją holomorficzną zmiennej ${\displaystyle z}$ w otoczeniu ${\displaystyle z=0.}$ Zbiór funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux oznacza się symbolem ${\displaystyle \operatorname {H_{G}} (U,Y).}$

W analizie funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux wszystkie własności skończeniewymiarowych funkcji holomorficznych są spełnione na podprzestrzeniach ${\displaystyle X}$ skończonego wymiaru. Jednak, tak jak w zwykłej analizie funkcjonalnej, własności te mogą nie składać się w sposób jednorodny w całość, by dać jakiekolwiek odpowiadające im własności tych funkcji na pełnych zbiorach otwartych.

Przykłady

• Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest określona na ${\displaystyle U,}$ to ma ona pochodne Gâteaux wszystkich rzędów, ponieważ dla ${\displaystyle x\in U}$ oraz ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{k}\in X}$ pochodna Gâteaux ${\displaystyle k}$-tego rzędu ${\displaystyle \operatorname {D} ^{k}f(x)\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$ zawiera wyłącznie iterowane pochodne kierunkowe w kierunkach otoczki ${\displaystyle h_{i},}$ która jest przestrzenią skończenie wymiarową. W tym przypadku iterowane pochodne Gâteaux są wieloliniowe względem ${\displaystyle h_{i},}$ ale w ogólności nie są one liniowe, gdy rozważa się je jako określone na całej przestrzeni ${\displaystyle X.}$

• Więcej, obowiązuje wersja twierdzenia Taylora:

  ${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {\operatorname {D} }}^{n}f(x)(y).}$

Symbol ${\displaystyle {\widehat {\operatorname {D} }}^{n}f(x)(y)}$ oznacza wielomian jednorodny stopnia ${\displaystyle n}$ zmiennej ${\displaystyle y}$ związanej z operatorem wieloliniowym ${\displaystyle \operatorname {D} ^{n}f(x).}$ Zbieżność tego szeregu nie jest jednostajna: jeżeli ${\displaystyle V\subseteq X}$ jest ustaloną podprzestrzenią skończonego wymiaru, to szereg zbiega jednostajnie na dowolnie małych otoczeniach ${\displaystyle 0\in Y,}$ jednak jeżeli ${\displaystyle V}$ może być zmienna, to nie ma zbieżności – nie będzie jej w ogólności, o ile zezwoli się na tę zależność. Stoi to w całkowitej sprzeczności z przypadkiem skończeniewymiarowym.

• dla funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux zachodzi twierdzenie Hartoga w następującym sensie:

Jeżeli ${\displaystyle f\colon (U\subseteq X_{1})\times (V\subseteq X_{2})\to Y}$ jest funkcją, która jest holomorficzna w sensie Gâteaux oddzielnie ze względu na każdy z jej argumentów, to wtedy ${\displaystyle f}$ jest holomorficzna w sensie Gâteaux na przestrzeni produktowej.

Funkcja ${\displaystyle f\colon (U\subseteq X)\to Y}$ jest hipoanalityczna (ang. hypoanalytic), jeżeli ${\displaystyle f\in \operatorname {H_{G}} (U,Y)}$ oraz ${\displaystyle f}$ jest ciągła na warunkowo zwartych podzbiorach ${\displaystyle U.}$

Funkcja ${\displaystyle f\in \operatorname {H_{G}} (U,Y)}$ jest holomorficzna, jeżeli dla każdego ${\displaystyle x\in U}$ rozwinięcie w szereg Taylora

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {\operatorname {D} }}^{n}f(x)(y)}$

(którego istnienie wynika już z holomorficzności w sensie Gâteaux) jest zbieżne i ciągłe względem ${\displaystyle y}$ w otoczeniu ${\displaystyle 0\in X.}$ Holomorficzność łączy więc pojęcia słabej holomorficzności ze zbieżnością rozwinięcia w szereg potęgowy. Zbiór funkcji holomorficznych oznacza się symbolem ${\displaystyle \operatorname {H} (U,Y).}$

O funkcji ${\displaystyle f\colon (U\subseteq X)\to Y}$ mówi się, że jest lokalnie ograniczona, jeżeli każdy punkt ${\displaystyle U}$ ma otoczenie, którego obraz względem ${\displaystyle f}$ jest ograniczony w ${\displaystyle Y.}$ Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest dodatkowo holomorficzna w sensie Gâteaux na ${\displaystyle U,}$ to ${\displaystyle f}$ jest lokalnie ograniczenie holomorficzna (ang. locally bounded holomorphic), co oznacza się ${\displaystyle f\in \operatorname {H_{LB}} (U,Y).}$

• Richard V. Kadison, John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. 1: Elementary theory. American Mathematical Society, 1997. ISBN 0-8218-0819-2. (zob. rozdział 3.3.)
• Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, 1985. ISBN 0-8247-7231-8.