Quasi-pochodna

Quasi-pochodna – jedno z uogólnień pochodnej funkcji między przestrzeniami Banacha. Quasi-pochodną można postrzegać jako silniejszą wersję pojęcia pochodnej Gâteaux, lecz z kolei słabsze niż pochodna Frécheta (w sensie opisanym niżej).

Niech ${\displaystyle f\colon A\to F}$ będzie funkcją ciągłą ze zbioru otwartego ${\displaystyle A}$ z przestrzeni Banacha ${\displaystyle E}$ w inną przestrzeń Banacha ${\displaystyle F.}$ Quasi-pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in A}$ nazywa się przekształcenie liniowe ${\displaystyle u\colon E\to F}$ o następującej własności:

dla każdej funkcji ciągłej ${\displaystyle g\colon [0,1]\to A,}$ przy czym ${\displaystyle g(0)=x_{0},}$ takiej, że istnieje ${\displaystyle g'(0)\in E}$ zachodzi

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}~{\frac {f(g(t))-f(x_{0})}{t}}=u(g'(0)).}$

Jeżeli takie przekształcenie liniowe ${\displaystyle u}$ istnieje, to funkcję ${\displaystyle f}$ nazywa się quasi-różniczkowalną w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$

Założenie ciągłości ${\displaystyle u}$ jest zbędne, gdyż wynika z definicji. Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ to na mocy reguły łańcuchowej ${\displaystyle f}$ jest również quasi-różniczkowalna, a jej quasi-pochodna w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ jest równa pochodnej Frécheta w tym punkcie. Implikacja odwrotna zachodzi, o ile tylko ${\displaystyle E}$ jest skończonego wymiaru. Jeżeli ${\displaystyle f}$ jest quasi-różniczkowalna, to jest ona także różniczkowalna w sensie Gâteaux, a jej pochodna Gâteaux jest równa quasi-pochodnej tej funkcji.

• Dieudonné, J: Foundations of modern analysis. Academic Press, 1969. Brak numerów stron w książce