Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych

Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych – równania Maxwella zapisane w układzie współrzędnych krzywoliniowych. Równania te opisują dynamikę pola elektromagnetycznego oraz cząstek materii poddanych oddziaływaniom tych pól. Mają szczególne zastosowanie w zakrzywionej czasoprzestrzeni, gdzie metryka w ogólności różni się od metryki płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego (zmiana metryki czasoprzestrzeni według ogólnej teorii względności powstaje na skutek obecności materii i energii, i tym tłumaczy pojawianie się pola grawitacyjnego).

W zakrzywionej czasoprzestrzeni tory cząstek masowych są liniami geodezyjnymi, innymi niż tory prostoliniowe. Obecność pola elektromagnetycznego dodatkowo zmienia te tory.

Także promienie świetlne poruszają się nie po prostych euklidesowych – jak to jest w płaskiej czasoprzestrzeni – ale po tzw. liniach geodezyjnych zerowych. W silnych polach grawitacyjnych (np. w pobliżu czarnych dziur) lub po przejściu światłą na wielkich dystansach w oddziaływaniu np. z galaktykami występuje efekt zakrzywiania biegu (tzw. soczewkowanie grawitacyjne).

Równania te są uogólnieniem równań Maxwella w próżni, które zazwyczaj są formułowane w lokalnych układach współrzędnych w płaskiej czasoprzestrzeni. Jednakże ogólna teoria względności wskazuje, iż obecność pola elektromagnetycznego (lub energii i materii w ogólności) powoduje zmianę metryk, równania Maxwella w płaskiej czasoprzestrzeni powinny być rozumiane jako przybliżenie.

W opisie zjawisk elektromagnetycznych w obecności materii zazwyczaj odróżnia się ładunki związane i swobodne. Bez tego odróżnienia równania Maxwella w próżni nazywa się „mikroskopowymi”, a gdy robi się to odróżnienie, to równania te nazywa się „makroskopowymi”.

Równania Maxwella są niezmiennicze, tzn. ich postać nie zależy od tensora metrycznego, a więc są identyczne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem metrycznym Minkowskiego), jak i zakrzywionej czasoprzestrzeni (np. w pobliżu masywnego obiektu, gdzie obowiązuje metryka Schwarzschilda), jak również nie zależą od przyjętego układu współrzędnych krzywoliniowych (np. część przestrzenną czasoprzestrzeni można przedstawić zarówno we współrzędnych prostokątnych, czyli kartezjańskich, sferycznych, jak i dowolnych współrzędnych krzywoliniowych).

Z powyższych względów równania Maxwella w czasoprzestrzeni Minkowskiego trzeba rozumieć jako szczególny przypadek równań podanych dla współrzędnych krzywoliniowych.

Równania pola elektromagnetycznego zapisane w szczególnej teorii względności łatwo uogólnić tak, by były słuszne w dowolnym czterowymiarowym układzie współrzędnych, a więc z dowolnym tensorem metrycznym – ogólność ta obejmuje zarówno zapis równań w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych, jak i w przypadku, gdy występuje pole grawitacyjne.

Tensor pola elektromagnetycznego w szczególnej teorii względności jest równy

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}},}$

gdzie ${\displaystyle A}$ jest czteropotencjałem pola elektromagnetycznego. Zgodnie z ogólną zasadą przy przejściu ze współrzędnych kartezjańskich do krzywoliniowych pochodne cząstkowe przechodzą na pochodne kowariantne; stąd mamy ${\displaystyle F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }.}$

Jednak człony zawierające symbole Christoffela kasują się i otrzymuje się wyrażenia identyczne jak we współrzędnych kartezjańskich, czyli

${\displaystyle F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}.}$

W konsekwencji pierwsza para równań Maxwella nie zmienia postaci

${\displaystyle \partial _{i}F_{jk}+\partial _{j}F_{ki}+\partial _{k}F_{ij}=0.}$

Równanie to zawiera prawo indukcji Faradaya oraz prawo Gaussa dla elektromagnetyzmu. Wstawiając potencjały pole mamy

${\displaystyle \partial _{i}\partial _{j}A_{k}-\partial _{i}\partial _{k}A_{j}+\partial _{j}\partial _{k}A_{i}-\partial _{j}\partial _{i}A_{k}+\partial _{k}\partial _{i}A_{j}-\partial _{k}\partial _{j}A_{i}=0.}$

Jeżeli w przestrzeni znajduje się pewien rozkład cząstek naładowanych, który można uśrednić i traktować jako ciągły, to można wprowadzić pojęcie czterowektora gęstości prądu w danym punkcie, związanego z poruszającymi się ładunkami^[2]

${\displaystyle j^{a}=\rho {\frac {\partial x^{a}}{\partial t}}=\left(\rho c,\rho {\vec {v}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle \rho =\gamma \,\rho _{0}}$ – relatywistyczna gęstość ładunku, przy czym:

• ${\displaystyle \rho _{0}}$ – gęstość ładunku nieruchomego w infinitezymalnym otoczeniu danego punktu,
• ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$
• ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{x},v_{y},v_{z})}$ – prędkość ładunków względem obserwatora.

Druga para równań Maxwella ma w układzie kartezjańskim postać^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial F^{ai}}{\partial x^{i}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{a}.}$

Przejście do współrzędnych krzywoliniowych wymaga jedynie zmiany pochodnych cząstkowych na pochodne kowariantne

${\displaystyle F_{\,\,\,\,;i}^{ai}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{a}.}$

Powyższe wyrażenie zawiera dywergencję we współrzędnych krzywoliniowych; tensor ${\displaystyle F^{ai}}$ jest antysymetryczny; dywergencja tensora antysymetrycznego ma postać (por. dywergencja kowariantna)^[4]

${\displaystyle \operatorname {div} (F)\equiv F_{\,\,\,\,\,;i}^{ai}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,F^{ai}\right)}{\partial x^{i}}},}$

gdzie:

${\displaystyle |g|}$ – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowych w danym punkcie.

Stąd druga para równań Maxwella przyjmuje postać

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,F^{ai}\right)}{\partial x^{i}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{a}.}$

(1) Równanie ruchu cząstki swobodnej w płaskiej czasoprzestrzeni: cząstka nie podlega oddziaływaniom i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.^[5]

${\displaystyle \mathrm {d} u^{a}/\mathrm {d} s=0,}$

gdzie ${\displaystyle u^{a}}$ – czteroprędkość cząstki, ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ – różniczkowy przyrost tzw. interwału czasoprzestrzennego mierzony wzdłuż trajektorii cząstki; równoważnie można zapisać, że różniczka 4-prędkości cząstki zeruje się, tj.

${\displaystyle \mathrm {d} u^{a}=0.}$

(2) Równanie ruchu cząstki swobodnej w zakrzywionej czasoprzestrzeni

Przechodząc do układu współrzędnych krzywoliniowych równanie ruchu cząstki nie podlegającej oddziaływaniom należy zmodyfikować zamieniając różniczkę zupełną na różniczkę absolutną, tj.^[5]

${\displaystyle \mathrm {D} u^{a}=0.}$

Różniczka absolutna wektora kowariantnego dana jest zależnością

${\displaystyle \mathrm {D} u^{a}=\left({\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{l}}}+\Gamma _{kl}^{a}u^{k}\right)\mathrm {d} q^{l}}$

lub

${\displaystyle \mathrm {D} u^{a}=\mathrm {d} u^{a}+\Gamma _{kl}^{a}u^{k}\mathrm {d} x^{l},}$

gdzie:

${\displaystyle \mathrm {d} u^{a}={\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{l}}}\mathrm {d} x^{l}}$ – różniczka 4-prędkości cząstki.

Stąd mamy równanie ruchu cząstki w układzie krzywoliniowym

${\displaystyle \mathrm {d} u^{a}+\Gamma _{kl}^{a}u^{k}\mathrm {d} x^{l}=0.}$

Dzieląc przez ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ i uwzględniając, że ${\displaystyle \mathrm {d} u^{a}=\mathrm {d} x^{a}/\mathrm {d} s,}$ znajdujemy

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\Gamma _{kl}^{a}{\frac {\mathrm {d} x^{k}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{l}}{\mathrm {d} s}}=0.}$

Jest to równanie linii geodezyjnej w przestrzeni z metryką ${\displaystyle g_{ij}}$ (od której zależą m.in. symbole Christoffela ${\displaystyle \Gamma _{kl}^{a}}$). Przy tym, jeżeli przestrzeń jest pozbawiona źródeł pola grawitacyjnego, to symbole Christoffela ${\displaystyle \Gamma _{kl}^{a}}$ są takie, że zerują tensor krzywizny i równania geodezyjnych sprowadzają się do prostych euklidesowych; jeżeli jednak przestrzeń jest zakrzywiona na skutek obecności materii, to tensor krzywizny jest niezerowy, a geodezyjne są inne niż proste euklidesowe.

(3) Równanie ruchu cząstki w płaskiej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Cząstka podlega oddziaływaniom z polem elektromagnetycznym i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.^[6]

${\displaystyle mc{\frac {\mathrm {d} u^{a}}{\mathrm {d} s}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}.}$

(4) Równanie ruchu cząstki w zakrzywionej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Zmieniamy pochodną zupełną ${\displaystyle \mathrm {d} u^{a}/\mathrm {d} s}$ na pochodną absolutną ${\displaystyle \mathrm {D} u^{a}/\mathrm {d} s}$^[7]

${\displaystyle mc{\frac {\mathrm {D} u^{a}}{\mathrm {d} s}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k},}$

czyli

${\displaystyle mc\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\Gamma _{kl}^{a}{\frac {\mathrm {d} x^{k}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{l}}{\mathrm {d} s}}\right)={\frac {e}{c}}F^{ak}u_{k}.}$

Jest to równanie na trajektorię cząstki o ładunku ${\displaystyle e,}$ masie ${\displaystyle m,}$ poruszającej się w polu elektromagnetycznym ${\displaystyle F^{ik}}$ i w polu grawitacyjnym zadanym metryką ${\displaystyle g_{ij}}$ (od której zależą m.in. symbole Christoffela ${\displaystyle \Gamma _{kl}^{a}}$). Gdyby pole elektromagnetyczne było zerowe lub bardzo słabe, to cząstka poruszałaby się po linii geodezyjnej właściwej dla zakrzywionej czasoprzestrzeni. Obecność pola modyfikuje ten tor.

• ogólna teoria względności
• równania Maxwella
• tensorowe równania Maxwella
• wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda

Wiadomości z matematyki

• pochodna kowariantna
• współrzędne krzywoliniowe

• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.