Różnica zbiorów
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Venn_B_minus_A.svg/220px-Venn_B_minus_A.svg.png)
Różnica zbiorów i – podzbiór zbioru złożony z tych elementów, które nie należą do oznaczany – ukośnikiem wstecznym[1][2][3], niekiedy także minusem: [4][5][6]. Formalnie[4][5][6]:
co jest równoważne
gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[7][8] lub uniwersum[9].
Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru.
Przykłady
- Niech będzie zbiorem liczb wymiernych, a niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas jest zbiorem liczb niewymiernych[4]
- Jeżeli a to
Własności
Ogólne
Różnica zbiorów:
- nie jest przemienna – w ogólności
- nie jest łączna – w ogólności przykładowo
- ma jeden idempotent:
- ma prawostronny element neutralny:
- ma lewostronny element absorbujący:
Związki z inkluzją
jest podzbiorem (czyli zbiór zawiera się w ) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica jest zbiorem pustym:
Z inkluzji dwóch par zbiorów można wywnioskować inkluzję pewnych różnic[10][11]:
Definicja przekroju
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Venn-AA_2up.png/220px-Venn-AA_2up.png)
Za pomocą różnicy można zdefiniować także przekrój (część wspólną) zbiorów:
- [12].
- Dowód:
Prawa rozdzielności
Różnica zbiorów jest prawostronnie rozdzielna względem sumy zbiorów[13]:
Iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem różnicy zbiorów[14]:
Prawa De Morgana i dualności
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/De_Morgan%27s_law_with_set_subtraction_operation.png/220px-De_Morgan%27s_law_with_set_subtraction_operation.png)
Różnica zbiorów nie jest rozdzielna lewostronnie względem sumy ani przekroju zbiorów, ale zachodzą podobne równości, zaliczane do praw De Morgana[10][11]:
W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności[15], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:
- Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:
- Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:
Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.
Przypisy
![]() | Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Liczby i ich zbiory |
- ↑ różnica zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-09-06] .
- ↑ a b Leitner 1999 ↓, s. 39.
- ↑ a b Ross i Wright 1996 ↓, s. 25.
- ↑ a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 18.
- ↑ a b Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 6.
- ↑ a b Kuratowski 1980 ↓, s. 19.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 18.
- ↑ Rasiowa 1975 ↓, s. 21.
- ↑ Ross i Wright 1996 ↓, s. 27.
- ↑ a b Opial 1972 ↓, s. 10.
- ↑ a b Rasiowa 2004 ↓, s. 19.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 7.
- ↑ Kuratowski 1972 ↓, s. 27.
- ↑
Logika i teoria mnogości, Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-09-07].
- ↑ Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 20.
Bibliografia
- A.N. Kołmogorow, S.W. Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1989. ISBN 5-02-013993-9.
- Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, seria: Biblioteka Matematyczna.
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
- Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
- Zdzisław Opial: Algebra wyższa. PWN, 1972.
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 14. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14294-4.
- Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
Linki zewnętrzne
Szymon Charzyński, Różnica zbiorów, kanał Khan Academy Po Polsku na YouTube, 24 września 2013 [dostęp 2023-09-07].
- p
- d
- e
działania |
| ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
własności działań |
| ||||||||
powiązane relacje |
| ||||||||
tworzone struktury algebraiczne |
| ||||||||
inne rodziny zdefiniowane działaniami |
| ||||||||
twierdzenia | |||||||||
powiązane nauki |
| ||||||||
badacze |
|