Notacja strzałkowa Knutha – metoda zapisywania bardzo dużych liczb wprowadzona przez amerykańskiego matematyka Donalda Knutha w 1976[1]. Podstawowa idea tej metody jest oparta na iterowanym potęgowaniu, w sposób podobny do tego jak potęgowanie jest iterowanym mnożeniem, mnożenie jest iterowanym dodawaniem, a dodawanie jest iterowaną inkrementacją. Celem tej notacji było zapisanie bardzo dużych liczb, których nawet zapisanie w postaci wykładniczej było trudne lub praktycznie niemożliwe do wykonania. Tempo wzrostu w szybko rosnącej hierarchii wynosi
Definicja
Z potęgowaniem jako podstawą:
dla wszystkich liczb całkowitych
z
Dodatkowo w sekcji Inne przykłady wykazano, że:
![{\displaystyle a\uparrow ^{n}1=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c012501ba27ba279960a31f349d113be5cd7ed88)
Z mnożeniem jako podstawą[2]:
dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych
Dla
otrzymamy zwykłe potęgowanie
dla
tetrację, dla
pentację(inne języki) itd. (ang. n-hyperoperation(inne języki))[2].
Przykłady
Opis notacji
Dla skrócenia zapisu dużą ilość strzałek zastępuje się ich liczbą umieszczoną po prawej stronie strzałki w indeksie górnym:
Konstrukcja
gdzie
występuje po prawej stronie równań zawsze dokładnie
razy.
Inne przykłady
![{\displaystyle a\uparrow 1=a^{1}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ca397f52217ed76df3c862f893b2fc3b5bef644)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow 1=a\uparrow (a\uparrow \uparrow 0)=a\uparrow 1=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2f5dcfd6945df43ed120de2f7924ea630c9b65)
![{\displaystyle a\uparrow ^{n+1}1=a\uparrow ^{n}(a\uparrow ^{n+1}0)=a\uparrow ^{n}1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb57e98eebbe13ece02d88ae1743a97ab4fe9255)
- a stąd indukcyjnie uzasadniamy, że
dla wszystkich ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b82f4024a32a795b10f00971e03ad88ebaa367)
![{\displaystyle 2\uparrow 2=2^{2}=4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0415dc436c165c1967ad0e3f788bc29c0703a355)
![{\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow (2\uparrow \uparrow 2)=2\uparrow 4=16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fc2bb5fb3892c43b32a0f086d99dc9c532bbe2)
![{\displaystyle 2\uparrow ^{n+1}2=2\uparrow ^{n}(2\uparrow ^{n+1}1)=2\uparrow ^{n}2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f212bc6e224d20461b73d3f35c7bb7773ae3e1)
- i stąd indukcyjnie uzasadniamy, że
dla wszystkich ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b82f4024a32a795b10f00971e03ad88ebaa367)
Liczba Grahama
Osobny artykuł: Liczba Grahama.
Oznaczmy
Wtedy
itd. Liczbę
nazywamy liczbą Grahama.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Knuth Up-Arrow Notation, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2016-05-14] (ang.).
- ↑ a b FabioF. Caldarola FabioF. i inni, On the Arithmetic of Knuth’s Powers and Some Computational Results About Their Density, [w:] Yaroslav D.Y.D. Sergeyev, Dmitri E.D.E. Kvasov, Numerical Computations: Theory and Algorithms: Third International Conference, NUMTA 2019, Crotone, Italy, June 15–21, 2019, Revised Selected Papers, Part I, Springer Nature, 13 lutego 2020, s. 382, ISBN 978-3-030-39081-5 [dostęp 2023-03-08] (ang.).
Wielkie liczby
Liczby | Poniżej miliona[a] | |
---|
Potęgi tysiąca[a] | |
---|
Inne liczby | |
---|
|
---|
Metody wyrażeń | |
---|
Powiązane | |
---|
↑ a b kolejność nazw według wartości liczbowej (od najniższej do najwyższej) ↑ możliwa polska nazwa liczby 10120 ↑ możliwa polska nazwa liczby 10180 ↑ możliwa polska nazwa liczby 10240 ↑ możliwa polska nazwa liczby 10300 ↑ możliwa polska nazwa liczby 10360 ↑ możliwa polska nazwa liczby 10420 ↑ możliwa polska nazwa liczby 10480 ↑ możliwa polska nazwa liczby 10540