Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya (również notacja łańcuchowa Conwaya), stworzona przez matematyka Johna Hortona Conwaya i Richarda Kennetha Guya[1], jest sposobem wyrażania pewnych dużych liczb. Składa się ze skończonej sekwencji dodatnich liczb całkowitych oddzielonych przez strzałkę w prawo, np. 4 → 5 → 6 → 7 → 9.
Jak w przypadku większości notacji kombinatorycznych, definicja jest rekursywna.
Definicja
„Łańcuch Conwaya” jest zdefiniowany następująco:
- Każda dodatnia liczba całkowita jest łańcuchem o długości 1.
- Łańcuch o dowolnej długości n, po którym następuje znak strzałki (→) i dowolna liczba całkowita, razem tworzy łańcuch o długości
![{\displaystyle n+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1)
Każdy łańcuch reprezentuje liczbę całkowitą, zgodnie z czterema zasadami poniżej. Mówimy, że łańcuchy są równoważne, jeśli reprezentują tę samą liczbę.
![{\displaystyle a\to b=a^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f7872d2d987cf0a69e826ad98548319ca94ab8)
![{\displaystyle a\to b\to c=a\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } _{c}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10dff25d1230405d9703651b97bb634d4a8c449b)
jeśli ostatnim elementem jest 1, można ją usunąć
całą sekwencję po jedynce można usunąć ![{\displaystyle a\to \ldots \to b\to c\to d=a\to \ldots \to b\to (a\to \ldots \to b\to (c-1)\to d)\to (d-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0aa088de3ed6ac500424233f2882c40d681e9b5)
Przykłady
Rozważmy teraz trzy przykłady:
zobacz liczba Grahama
Funkcja CG
Używając notacji łańcuchowej, Conway i Guy stworzyli nową funkcję podobną do funkcji Ackermanna. Oto jej definicja:
Funkcja daje wartości identyczne do liczb Ackermanna dla n od 1 do 3.
Wiadomo, że cg(4)
jest znacznie większa od Liczby Grahama, która leży między
a
Dowód:
Najpierw zdefiniujmy funkcję:
która może być użyta do zdefiniowania liczby Grahama jako:
możemy więc rozposać:
z 64
Można więc stwierdzić, że liczba Grahama leży między
a
Rozszerzenia Petera Hurforda
Peter Hurford rozszerzył strzałki Cowaya o dodatkową zasadę[2][3]:
gdzie
przyjmuje formę
Wyrażenia typu:
dla
nie istnieją.
Przypisy
- ↑ J.H. Conway i R.K.J.H.C.R.K. Guy J.H. Conway i R.K.J.H.C.R.K., The Book of Numbers . Brak numerów stron w książce
- ↑ Large Numbers, Part 2: Graham and Conway - Greatplay.net [online], archive.vn, 25 czerwca 2013 [dostęp 2020-04-14] .
- ↑ Large Numbers, Part 3: Functions and Ordinals - Greatplay.net [online], archive.vn, 25 czerwca 2013 [dostęp 2020-04-14] .