Forma
-liniowa, funkcjonał
-liniowy, albo
-tensor na przestrzeni liniowej
nad ciałem
to funkcja postaci
![{\displaystyle F\colon V^{k}\to K,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39658af3c9fd02af8aee0e2493ecb14b65c69572)
liniowa względem wszystkich swoich argumentów. Formy
-liniowe stanowią uogólnienie form liniowych i dwuliniowych oraz jeden ze sposobów sformalizowania pojęcia tensora. Odgrywają bardzo ważną rolę w geometrii różniczkowej gdzie z reguły za ich pomocą definiuje się formy różniczkowe i (pośrednio) całkę z formy różniczkowej po rozmaitości.
Definicja
Niech
będzie przestrzenią liniową nad ciałem
Funkcję
która jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, tzn.
![{\displaystyle F(v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{k})=F(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{k})+F(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4ad0966627d09e050b22008c72bbb77d486cf5)
oraz
![{\displaystyle F(v_{1},\dots ,\alpha v_{i},\dots ,v_{k})=\alpha F(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92c716728789d9c32256a70b2c4f556cf6a4904)
dla dowolnych
i
nazywamy formą
-liniową, funkcjonałem
-liniowym lub krótko:
-formą lub
-tensorem na
[1].
Zbiór
-tensorów na
oznaczamy
Struktura przestrzeni liniowej
W
na przestrzeni liniowej
nad ciałem
wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo:
![{\displaystyle (F+G)(x):=F(x)+G(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27f28b2f47afef1d1e231d4b1368ab55f3802e3)
![{\displaystyle (\alpha F)(x):=\alpha F(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f490cca9b6e37d581233c5347c6dc4ff84afe4)
dla
i
Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jest iloczyn tensorowy form wieloliniowych
dany wzorem
![{\displaystyle (F\otimes G)(v_{1},\dots ,v_{k},v_{k+1},\dots ,v_{k+l}):=F(v_{1},\dots ,v_{k})\cdot G(v_{k+1},\dots ,v_{k+l})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3bad4954142cd03a3367bb568192478f547ba7)
dla
Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.
Iloczyn tensorowy jest łączny:
![{\displaystyle (F\otimes G)\otimes H=F\otimes (G\otimes H),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c1ac173056eebe51201fb952c04cbca4499989)
i rozdzielny względem dodawania:
![{\displaystyle F\otimes (G+H)=F\otimes G+F\otimes H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5c24703265e209987d5ae6952c403d4a75421e)
![{\displaystyle (F+G)\otimes H=F\otimes H+G\otimes H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c670c6dacc0754fe39b0896a539b67de3231dcc)
nie jest jednak przemienny:
![{\displaystyle F\otimes G\neq G\otimes F.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edb63adfc14e55cc9c7be02cfc49da10e045e3a)
Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa
ma wymiar
i rozpatrzmy rzutowania
na
-tą współrzędną względem bazy
tzn. funkcje
dane wzorem
![{\displaystyle e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right):=v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cae73fdcb3d3c3d5ce6fdee63a8dd6142822cc6)
Rzutowania
są
-formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy
![{\displaystyle e^{1}\otimes e^{2}(e_{1},e_{2})=e^{1}(e_{1})e^{2}(e_{2})=1\cdot 1\neq 0\cdot 0=e^{2}(e_{1})e^{1}(e_{2})=e^{2}\otimes e^{1}(e_{1},e_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322c9dac397ad0370e08213316ad2494ee85b0e1)
Baza i przedstawienie
Załóżmy, że przestrzeń liniowa
nad
jest
-wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na
-tą współrzędną względem bazy
przestrzeni
tzn. funkcje
postaci
![{\displaystyle e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right):=v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cae73fdcb3d3c3d5ce6fdee63a8dd6142822cc6)
Rzutowania te są
-formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny
![{\displaystyle e^{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c191b2b6960f8376cd9d5b8fd9a4ff6be3757a)
dla pewnych indeksów
Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń
W szczególności wynika z tego, że każdą
-formę na
można jednoznacznie przedstawić w postaci
![{\displaystyle F=\sum _{i_{1},\dots ,i_{k}=1}^{n}r_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29e26d29c417655a498d39c31db13d84a9f6cdf)
dla pewnych skalarów
Rozpatrzmy przestrzeń
Każde przekształcenie liniowe
indukuje odwzorowanie
dane wzorem
![{\displaystyle L^{*}F(v_{1},\dots ,v_{k}):=F(Lv_{1},\dots ,Lv_{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4818691af5121f351bfc2a0c033752e739e8557f)
dla
które nazywamy cofnięciem formy.
jest już
-tensorem na
W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować.
Definicja
Niech
Niech
oznacza rodzinę permutacji zbioru
Powiemy, że
jest formą antysymetryczną, jeżeli dla dowolnej permutacji
zachodzi
![{\displaystyle F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )F(v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef6c34c98a22f4b3e00ea32591eb50f4723221d)
Uwagi do definicji
(1) Innymi słowy
jest formą antysymetryczną, jeżeli zamieniając miejscami dwa dowolne argumenty zmienia się znak formy
na przeciwny.
(2) Ponieważ jedyną permutacją zbioru
jest identyczność i jej znak wynosi 1, to każda
-forma jest antysymetryczna.
(3) Zbiór
-form antysymetrycznych na przestrzeni liniowej
oznaczamy
(4)
tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.
(5) Z powodu warunku antysymetryczności
na
-wymiarowej przestrzeni liniowej
jest przestrzenią liniową
-wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni
W szczególności dla
formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.
Antysymetryzacja
Dowolną formę
można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanego antysymetryzacją albo alternacją
danego wzorem
Jeżeli
jest formą antysymetryczną to
![{\displaystyle \mathrm {Alt} F=F,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc136d7e7c4753b08937bc20ca897791782bc71)
czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.
Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy
tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem
![{\displaystyle F\wedge G:={\frac {(k+l)!}{k!l!}}\mathrm {Alt} (F\otimes G).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98690d9e325d28f2bc7eaf00d1022f7c5c97b027)
Nazywamy go iloczynem zewnętrznym, albo alternującym. Iloczyn zewnętrzny jest łączny:
![{\displaystyle (F\wedge G)\wedge H=F\wedge (G\wedge H),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ceed1b066fafc179811ed38ae5b44284b0e5f9b)
rozdzielny względem dodawania:
![{\displaystyle (F+G)\wedge H=F\wedge H+G\wedge H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3033618eab08e75cca20d65ac164ded74422bcc)
![{\displaystyle F\wedge (G+H)=F\wedge G+F\wedge H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec02e5dd93f7083695e0dbf6f6ba4a261729e86)
Ponadto zachodzi:
![{\displaystyle F\wedge G=(-1)^{kl}G\wedge F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326f1125310cd7466a0222b454a08d476a312a51)
dla
Baza i przedstawienie
Niech
będzie
-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem
Utwórzmy iloczyny
![{\displaystyle e^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e47a6594b7263bf5281ef49047d4461d63ed50)
dla
Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni
W szczególności wynika z tego, że każdą formę
można jednoznacznie przedstawić w postaci
![{\displaystyle F=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}r_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b61081523764879742087f082fc293ee9dddfd)
dla pewnych skalarów
Przykłady
(1) Zdefiniujmy
wzorem
![{\displaystyle F(x,y)=F((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})):=x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}+3x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3a72a42b192c9d4ac3cc47830dd50b10d2c09e)
jest
-tensorem. Możemy go zapisać w postaci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&F((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))\\={}&e^{1}(x)e^{1}(y)+2e^{1}(x)e^{2}(y)+3e^{2}(x)e^{1}(y)+4e^{2}(x)e^{2}(y)\\={}&e^{1}\otimes e^{1}(x,y)+2e^{1}\otimes e^{2}(x,y)+3e^{2}\otimes e^{1}(x,y)+4e^{2}\otimes e^{2}(x,y),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dfecf81bd1b5666d3bbc44e2b44dc039cc4bba)
gdzie
to rzutowania zdefiniowane
![{\displaystyle e^{1}(x_{1},x_{2}):=x_{1},\quad e^{2}(x_{1},x_{2}):=x_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d94ed48025a9b8c589ccd6fafd37b7a9279196)
Widzimy, że
możemy zapisać
![{\displaystyle F=e^{1}\otimes e^{1}+2e^{1}\otimes e^{2}+3e^{2}\otimes e^{1}+4e^{2}\otimes e^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ce4fadb5223a34d1f60b207a81fc0005d5e9cf)
(2) Iloczyn skalarny
to funkcja taka, że
![{\displaystyle \langle \alpha v_{1}+\beta v_{2},v\rangle =\alpha \langle v_{1},v\rangle +\beta \langle v_{2},v\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaea8604bb2d7ba47cb88f21941655ab2eababe6)
![{\displaystyle \langle v,\alpha v_{1}+\beta v_{2}\rangle =\alpha \langle v,v_{1}\rangle +\beta \langle v,v_{2}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d927a37914aa987bbfbcf500d2238df0f69601a)
Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest
-tensorem na
(3) Definicja aksjomatyczna wyznacznika mówi, że wyznacznik to funkcja
taka, że
![{\displaystyle \det(v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{n})=\det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n})+\det(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f42fe58f43d2fe676746e421ec9fbbcc72c79e7)
![{\displaystyle \det(v_{1},\dots ,\alpha v_{i},\dots ,v_{n})=\alpha \det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99185c4c54c359a23d3279bbee3dbb02d1c6bc7)
![{\displaystyle \det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{n})=-\det(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736dfa3e7975998693e77b0a7f99b4e37d4a1cc3)
Gdzie
oznaczają tutaj kolumny macierzy
Oznacza to, że wyznacznik jest
-tensorem na
Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.
(4) Niech
będzie przestrzenią liniową z pewną bazą
Obliczmy
Z definicji iloczynu zewnętrznego mamy
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(e^{i}\wedge e^{j})(v_{1},v_{2})\\={}&{\frac {2!}{1!1!}}\mathrm {Alt} \left(e^{i}\otimes e^{j}\right)(v_{1},v_{2})\\={}&2!{\frac {1}{2!}}\left(e^{i}\otimes e^{j}(v_{1},v_{2})-e^{i}\otimes e^{j}(v_{2},v_{1})\right)\\={}&e^{i}\otimes e^{j}(v_{1},v_{2})-e^{j}\otimes e^{i}(v_{1},v_{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d963ba4bf1a02c119e59ba2c3512a5ec353f6a)
Widzimy, że
![{\displaystyle e^{i}\wedge e^{j}=e^{i}\otimes e^{j}-e^{j}\otimes e^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa2223551ab0eb20ef5938edc9c9c575cbcdc7f)
W szczególności wynikają z tego przydatne związki
![{\displaystyle e^{i}\wedge e^{j}=-e^{j}\wedge e^{i},\quad e^{i}\wedge e^{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7940fc9337fb41efdac6404f4ce8c0bce9716db)
Zobacz też
Przypisy
- ↑ L.L. Górniewicz L.L., R.S.R.S. Ingarden R.S.R.S., Analiza matematyczna dla fizyków, Wydawnictwo Naukowe UMK . Brak numerów stron w książce
Bibliografia
- L Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków. Wydawnictwo Naukowe UMK. Brak numerów stron w książce
- M. Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Brak numerów stron w książce
Formy na przestrzeniach liniowych