Fattoriale
In matematica, si definisce fattoriale di un numero naturale , indicato con , il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. In formula:
per la convenzione del prodotto vuoto si definisce inoltre . La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Eulero.
La notazione con il punto esclamativo è stata introdotta nel 1807 da Christian Kramp, mentre il nome fattoriale era stato coniato pochi anni prima, nel 1800 da Antoine Arbogast.
La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) come sequenza A000142.
Esempio di numeri fattoriali
I valori dei primi numeri fattoriali sono riassunti nella seguente tabella:
n | n! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5 040 |
8 | 40 320 |
9 | 362 880 |
10 | 3 628 800 |
11 | 39 916 800 |
12 | 479 001 600 |
13 | 6 227 020 800 |
14 | 87 178 291 200 |
15 | 1 307 674 368 000 |
16 | 20 922 789 888 000 |
17 | 355 687 428 096 000 |
18 | 6 402 373 705 728 000 |
19 | 121 645 100 408 832 000 |
20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
Definizione ricorsiva
La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:
Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo.
Zero fattoriale
Nella definizione come produttoria, la richiesta che sia pari a uno si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad . Per convincersi ulteriormente di questo fatto, si può anche pensare di definire e osservare che
come si desume dalla definizione ricorsiva.
Applicazioni
I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono diverse sequenze formate da oggetti distinti, cioè vi sono permutazioni di oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.
Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad esempio, rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di elementi di un dato insieme di oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale:
I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzitutto va osservato che la -esima derivata di è ; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione come serie di potenze nella servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.
Varianti e generalizzazioni
Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale e in particolare il semifattoriale, il fattoriale crescente e il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete troviamo l'iperfattoriale e il superfattoriale. Molte di queste varianti nascono dal calcolo della cardinalità di alcuni insiemi nati dalla combinatoria. La funzione gamma è invece una generalizzazione continua.
Funzione gamma
La funzione gamma è una funzione analitica definibile mediante l'integrale
per essa si dimostrano facilmente le proprietà
essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):
Si dimostra inoltre che essa è l'unica estensione analitica del fattoriale.
Semifattoriale o doppio fattoriale
La notazione denota il semifattoriale (o doppio fattoriale) di ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:
per esempio e . La sequenza di semifattoriali per è la seguente[1]:
Tra le identità che legano il fattoriale al doppio fattoriale, troviamo:
- La seconda identità risulta utile per i semifattoriali pari, mentre l'ultima identità per i semifattoriali dispari: è deducibile dalla constatazione che moltiplicare tra loro tutti i numeri dispari fino a equivale a moltiplicare tutti gli interi fino a per poi eliminare, ossia dividere, quelli pari, ossia ).
Multifattoriale
La notazione denota il multifattoriale di ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:
Valutazione numerica dei fattoriali
Il valore numerico di può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di ; questo è ciò che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per via dell'overflow. Ad esempio, una calcolatrice capace di operare su cifre decimali riesce a calcolare , ma non il fattoriale successivo, in quanto .
Quando è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa l'approssimazione di Stirling:
Note
- ^ (EN) Sequenza A006882, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
Bibliografia
- (FR) M. J. Hadamard, Sur L'Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), Œuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894.
- (EN) Srinivasa Ramanujan, The lost notebook and other unpublished papers, Springer Berlin, 1988, p. 339, ISBN 3-540-18726-X.
Voci correlate
- Calcolo combinatorio
- Permutazione
- Primo fattoriale
- Primoriale
- Fattoriale crescente
- Coefficiente binomiale
- Funzione Gamma
Altri progetti
Altri progetti
- Wikizionario
- Wikimedia Commons
- Wikizionario contiene il lemma di dizionario «fattoriale»
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul fattoriale
Collegamenti esterni
- fattoriale, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- Giovanni Lampariello, FATTORIALE, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1932.
- fattoriale, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- fattoriale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) factorial, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Fattoriale, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) factorial, in Free On-line Dictionary of Computing, Denis Howe. Disponibile con licenza GFDL
- (EN) Fattoriale Calcolatrice: da 0! a 100.000!
- (EN) Dizionario dei grandi numeri, su home.earthlink.net. URL consultato il 21 febbraio 2005 (archiviato dall'url originale il 2 gennaio 2002).
- (EN) Tavola su Wiki Educator, su wikieducator.org.
- Mauro Fiorentini, Fattoriali (nel paragrafo delle proprietà si fa cenno al concetto di base fattoriale)
- Calcolo fattoriale passo per passo
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