En mathématiques, un nombre polyédrique centré est un nombre figuré comptant comptant des points disposés dans un polyèdre par couches successives autour d'une droite centrale ou d'un centre.
Cas d'une pyramide : nombres pyramidaux centrés
Autour de l'axe de la pyramide Nombre pyramidal hexagonal centré P C 6 , 3 = 3 3 = 27 {\displaystyle PC_{6,3}=3^{3}=27} On dispose dans une pyramide à base k {\displaystyle k} -gonale une première couche de points k -gonale centrée d'ordre n {\displaystyle n} dans la base puis une couche d'ordre n − 1 {\displaystyle n-1} , etc. jusqu'au sommet de la pyramide.
Le n {\displaystyle n} -ième nombre k {\displaystyle k} -pyramidal centré P C k , n {\displaystyle PC_{k,n}} est donc la somme des nombres k {\displaystyle k} -gonaux centrés C k , i {\displaystyle C_{k,i}} pour i {\displaystyle i} allant de 1 à n {\displaystyle n} (en commençant par la pointe de la pyramide) : P C k , n = ∑ i = 1 n C k , i = ∑ i = 1 n ( 1 + k i ( i − 1 ) 2 ) = 1 6 n ( k ( n 2 − 1 ) + 6 ) {\displaystyle PC_{k,n}=\sum _{i=1}^{n}C_{k,i}=\sum _{i=1}^{n}\left(1+k{\frac {i(i-1)}{2}}\right)={\frac {1}{6}}n(k(n^{2}-1)+6)} [ 1] .
Exemples Nombres pyramidaux triangulaires centrés : P C 3 , n = 1 2 n ( n 2 + 1 ) {\displaystyle PC_{3,n}={\frac {1}{2}}n(n^{2}+1)} , suite A006003 de l'OEIS : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505,... Nombres pyramidaux carrés centrés : P C 4 , n = 1 3 n ( 2 n 2 + 1 ) {\displaystyle PC_{4,n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)} , suite A005900 de l'OEIS : 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670,..., égaux aux nombres octaédriques. Nombres pyramidaux pentagonaux centrés : P C 5 , n = 1 6 n ( 5 n 2 + 1 ) {\displaystyle PC_{5,n}={\frac {1}{6}}n(5n^{2}+1)} , suite A004068 de l'OEIS :1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609,... Nombres pyramidaux hexagonaux centrés : P C 6 , n = n 3 {\displaystyle PC_{6,n}=n^{3}} , égaux aux nombres cubiques. Nombres pyramidaux heptagonaux centrés : P C 7 , n = 1 6 n ( 7 n 2 − 1 ) {\displaystyle PC_{7,n}={\frac {1}{6}}n(7n^{2}-1)} , suite A004126 de l'OEIS :1, 9, 31, 74, 145, 251, 399, 596,... Nombres pyramidaux octogonaux centrés : P C 8 , n = 1 6 n ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle PC_{8,n}={\frac {1}{6}}n(2n-1)(2n+1)} , suite A000447 de l'OEIS : 1, 10, 35, 84, 165, 286, 455,...
Autour du centre de la pyramide La pyramide ayant k {\displaystyle k} faces triangulaires,1 face k {\displaystyle k} -gonale, k + 1 {\displaystyle k+1} sommets et 2 k {\displaystyle 2k} arêtes, la couche pyramidale ajoutée à l'étape n {\displaystyle n} possède k ( P 3 , n − 3 ( n − 1 ) ) + P k , n − k ( n − 1 ) {\displaystyle k(P_{3,n}-3(n-1))+P_{k,n}-k(n-1)} points correspondants aux intérieurs des faces, plus 2 k ( n − 1 ) {\displaystyle 2k(n-1)} points situés à l'intérieur des arêtes, plus k + 1 {\displaystyle k+1} points situés aux sommets ; P k , n = n ( ( k − 2 ) n − ( k − 4 ) ) 2 {\displaystyle P_{k,n}={n~{\big (}(k-2)n-(k-4){\big )} \over 2}} est le nombre k {\displaystyle k} -gonal d'ordre n {\displaystyle n} .
On obtient P C k , n ′ − P C k , n − 1 ′ = ( k − 1 ) ( n − 1 ) 2 + 2 {\displaystyle PC'_{k,n}-PC'_{k,n-1}=(k-1)(n-1)^{2}+2} , d'où P C k , n ′ = 1 + ∑ i = 1 n − 1 ( ( k − 1 ) i 2 + 2 ) = ( 2 n − 1 ) ( ( k − 1 ) ( n 2 − n ) + 6 ) 6 {\displaystyle PC'_{k,n}=1+\sum _{i=1}^{n-1}((k-1)i^{2}+2)={\frac {(2n-1)((k-1)(n^{2}-n)+6)}{6}}} [ 1] .
Exemples k = 3 {\displaystyle k=3} : on obtient les nombres tétraédriques centrés : P C 3 , n ′ = T C n = 1 3 ( 2 n − 1 ) ( n 2 − n + 3 ) {\displaystyle PC'_{3,n}=TC_{n}={\frac {1}{3}}(2n-1)(n^{2}-n+3)} . k = 4 {\displaystyle k=4} : P C 4 , n ′ = 1 2 ( 2 n − 1 ) ( n 2 − n + 2 ) {\displaystyle PC'_{4,n}={\frac {1}{2}}(2n-1)(n^{2}-n+2)} , suite A063488 de l'OEIS : 1, 6, 20, 49, 99, 176, 286, 435, 629, 874,... k = 5 {\displaystyle k=5} : on obtient les nombres octaédriques centrés : P C 5 , n ′ = O C n = 1 2 ( 2 n − 1 ) ( n 2 − n + 2 ) {\displaystyle PC'_{5,n}=OC_{n}={\frac {1}{2}}(2n-1)(n^{2}-n+2)} . k = 6 {\displaystyle k=6} : P C 6 , n ′ = 1 6 ( 2 n − 1 ) ( 5 n 2 − 5 n + 6 ) {\displaystyle PC'_{6,n}={\frac {1}{6}}(2n-1)(5n^{2}-5n+6)} , suite A063489 de l'OEIS : 1, 8, 30, 77, 159, 286, 468, 715, 1037, 1444,... k = 7 {\displaystyle k=7} : on obtient les nombres cubiques centrés : P C 7 , n ′ = C C n = ( 2 n − 1 ) ( n 2 − n + 1 ) {\displaystyle PC'_{7,n}=CC_{n}=(2n-1)(n^{2}-n+1)} . k = 8 {\displaystyle k=8} : P C 8 , n ′ = 1 6 ( 2 n − 1 ) ( 7 n 2 − 7 n + 6 ) {\displaystyle PC'_{8,n}={\frac {1}{6}}(2n-1)(7n^{2}-7n+6)} : suite A063490 de l'OEIS : 1, 10, 40, 105, 219, 396, 650, 995, 1445, 2014,...
Cas d'un prisme : nombres prismatiques centrés On dispose dans un prisme à base k {\displaystyle k} -gonale n {\displaystyle n} couches successives de points k -gonales centrées d'ordre n {\displaystyle n} .
Le n {\displaystyle n} -ième nombre k {\displaystyle k} -prismatique centré P k , n {\displaystyle P_{k,n}} est donc le nombre k {\displaystyle k} -gonal centré C k , i {\displaystyle C_{k,i}} multiplié par n {\displaystyle n} : P k , n = n 2 ( k n 2 − k n + 2 ) {\displaystyle P_{k,n}={\frac {n}{2}}(kn^{2}-kn+2)} [ 1] .
Exemples Nombres prismatiques triangulaires centrés : P 3 , n = n 2 ( 3 n 2 − 3 n + 2 ) {\displaystyle P_{3,n}={\frac {n}{2}}(3n^{2}-3n+2)} , suite A100175 de l'OEIS : 1, 8, 30, 76, 155,... Nombres prismatiques carrés centrés : P 4 , n = n ( 2 n 2 − 2 n + 1 ) {\displaystyle P_{4,n}=n(2n^{2}-2n+1)} , suite A059722 de l'OEIS : 1, 10, 39, 100, 205, .... Nombres prismatiques pentagonaux centrés : P 5 , n = n 2 ( 5 n 2 − 5 n + 2 ) {\displaystyle P_{5,n}={\frac {n}{2}}(5n^{2}-5n+2)} , égaux aux nombres icosaédriques , suite A006564 de l'OEIS :1, 12, 48, 124, 255 ,... Nombres prismatiques hexagonaux centrés : P 6 , n = n ( 3 n 2 − 3 n + 1 ) {\displaystyle P_{6,n}=n(3n^{2}-3n+1)} , égaux aux nombres cubiques augmentés , suite A005915 de l'OEIS : 1, 14, 57, 148, 305, .... Nombres prismatiques heptagonaux centrés : P 7 , n = n 2 ( 7 n 2 − 7 n + 2 ) {\displaystyle P_{7,n}={\frac {n}{2}}(7n^{2}-7n+2)} , suite A329530 de l'OEIS :1, 16, 66, 172, 355, ... Nombres prismatiques octogonaux centrés : P 8 , n = n ( 2 n − 1 ) 2 {\displaystyle P_{8,n}=n(2n-1)^{2}} , suite A139757 de l'OEIS : 1, 18, 75, 196, 405, ...
Cas d'un polyèdre régulier ou semi-régulier
Première méthode Nous suivons ici la référence[ 2] qui prend la convention de prendre n = 0 {\displaystyle n=0} pour l'étape de départ (il y a donc n + 1 {\displaystyle n+1} points dans chaque arête à l'étape n {\displaystyle n} ) ; dans cette référence, chaque face du polyèdre étant décomposée en triangles, on décompose le polyèdre en tétraèdres joignant un point central à ces triangles. Chaque tétraèdre est rempli de points à la façon des nombres tétraédriques, les points situés dans deux faces triangulaires contigües devant coïncider.
Si C n {\displaystyle C_{n}} est le nombre de points dans la couche numérotée n {\displaystyle n} , n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} , le nombre polyédrique centré d'ordre n {\displaystyle n} est P n = 1 + C 1 + ⋯ + C n {\displaystyle P_{n}=1+C_{1}+\cdots +C_{n}} pour n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} , avec P 0 = 1 {\displaystyle P_{0}=1} [ 2] .
On a C n = 2 ( α n 2 + 1 ) {\displaystyle C_{n}=2(\alpha n^{2}+1)} où α = 1 4 ( F 3 + 2 F 4 + 5 F 5 + 6 F 6 + 14 F 8 ) {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4}}(F_{3}+2F_{4}+5F_{5}+6F_{6}+14F_{8})} , F k {\displaystyle F_{k}} étant le nombre de faces k -gonales du polyèdre, d'où P n = ( 2 n + 1 ) ( α n 2 + α n + 3 ) 3 {\displaystyle P_{n}=(2n+1){(\alpha n^{2}+\alpha n+3) \over 3}} [ 2] .
Exemples Nombre polyédrique centré Nombre de faces C n {\displaystyle C_{n}} P n {\displaystyle P_{n}} P 0 , ⋯ , P 9 {\displaystyle P_{0},\cdots ,P_{9}} Rang OEIS Nombre tétraédrique centré F 3 = 4 {\displaystyle F_{3}=4} 2 ( n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(n^{2}+1)} ( 2 n + 1 ) ( n 2 + n + 3 ) 3 {\displaystyle (2n+1){(n^{2}+n+3) \over 3}} 1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589 suite A005894 de l'OEIS Nombre cubique centré F 4 = 6 {\displaystyle F_{4}=6} 2 ( 3 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(3n^{2}+1)} ( 2 n + 1 ) ( n 2 + n + 1 ) = n 3 + ( n + 1 ) 3 {\displaystyle (2n+1)(n^{2}+n+1)=n^{3}+(n+1)^{3}} 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729 suite A005898 de l'OEIS Nombre octaédrique centré F 3 = 8 {\displaystyle F_{3}=8} 2 ( 2 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(2n^{2}+1)} ( 2 n + 1 ) ( 2 n 2 + 2 n + 3 ) 3 {\displaystyle (2n+1){(2n^{2}+2n+3) \over 3}} 1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159 suite A001845 de l'OEIS Nombre dodécaédrique centré Nombre octaédrique tronqué centré
{ F 5 = 12 F 4 = 6 , F 6 = 4 {\displaystyle {\begin{cases}F_{5}=12\\F_{4}=6,F_{6}=4\end{cases}}} 2 ( 15 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(15n^{2}+1)} ( 2 n + 1 ) ( 5 n 2 + 5 n + 1 ) {\displaystyle (2n+1)(5n^{2}+5n+1)} 1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569 suite A005904 de l'OEIS Nombre icosaédrique centré Nombre cuboctaédrique centré
{ F 3 = 20 F 3 = 8 , F 4 = 6 {\displaystyle {\begin{cases}F_{3}=20\\F_{3}=8,F_{4}=6\end{cases}}} 2 ( 5 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(5n^{2}+1)} ( 2 n + 1 ) ( 5 n 2 + 5 n + 3 ) 3 {\displaystyle (2n+1){(5n^{2}+5n+3) \over 3}} 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869 suite A005902 de l'OEIS Nombre dodécaédrique rhombique centré[ 3] F 4 = 12 {\displaystyle F_{4}=12} 2 ( 6 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(6n^{2}+1)} ( 2 n + 1 ) ( 2 n 2 + 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 4 − n 4 {\displaystyle (2n+1)(2n^{2}+2n+1)=(n+1)^{4}-n^{4}} 1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439, 4641 suite A005917 de l'OEIS Nombre dodécaédrique rhombique de l'Abbé Haüy [ 1] construction exotique 8 ( 6 n 2 − 3 n + 1 ) {\displaystyle 8(6n^{2}-3n+1)} ( 2 n + 1 ) ( 8 n 2 + 2 n + 1 ) {\displaystyle (2n+1)(8n^{2}+2n+1)} 1, 33, 185, 553, 1233, 2321, 3913, 6105 suite A046142 de l'OEIS Nombre tétraédrique tronqué centré F 3 = F 6 = 4 {\displaystyle F_{3}=F_{6}=4} 2 ( 7 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(7n^{2}+1)} ( 2 n + 1 ) ( 7 n 2 + 7 n + 3 ) 3 {\displaystyle (2n+1){(7n^{2}+7n+3) \over 3}} 1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975 suite A063494 de l'OEIS Nombre cubique tronqué centré F 3 = 8 , F 8 = 6 {\displaystyle F_{3}=8,F_{8}=6} 2 ( 23 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(23n^{2}+1)} ( 2 n + 1 ) ( 23 n 2 + 23 n + 3 ) 3 {\displaystyle (2n+1){(23n^{2}+23n+3) \over 3}} 1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401
Deuxième méthode
Cas du nombre polyédrique centré à faces non centrées Nous suivons ici la référence[ 1] , où le nombre de points par arête est égal à n {\displaystyle n} .
Le polyèdre possède F k {\displaystyle F_{k}} faces de degré k {\displaystyle k} , S sommets et A arêtes, la couche polyédrique ajoutée à l'étape n + 1 {\displaystyle n+1} possède ∑ k ⩾ 3 ( P k , n + 1 − k n ) {\displaystyle \sum _{k\geqslant 3}(P_{k,{n+1}}-kn)} points correspondants aux intérieurs des faces ( P k , n + 1 {\displaystyle P_{k,n+1}} est le nombre k -gonal avec n + 1 {\displaystyle n+1} points sur chaque côté), plus A ( n − 1 ) {\displaystyle A(n-1)} points situés à l'intérieur des arêtes, plus S points situés aux sommets. On a donc P n + 1 − P n = ∑ k ⩾ 3 F k ( ( n + 1 ) ( ( k − 2 ) ( n + 1 ) − ( k − 4 ) ) 2 − k n ) + A ( n − 1 ) + S {\displaystyle P_{n+1}-P_{n}=\sum _{k\geqslant 3}F_{k}\left({(n+1)~{\big (}(k-2)(n+1)-(k-4){\big )} \over 2}-kn\right)+A(n-1)+S} , soit P n + 1 − P n = n − 1 2 ∑ k ⩾ 3 F k ( ( k − 2 ) n − 2 ) + A ( n − 1 ) + S {\displaystyle P_{n+1}-P_{n}={\frac {n-1}{2}}\sum _{k\geqslant 3}F_{k}((k-2)n-2)+A(n-1)+S} .
Partant de P 1 = 1 {\displaystyle P_{1}=1} , on obtient P n = 1 + ∑ i = 1 n − 1 ( P i + 1 − P i ) {\displaystyle P_{n}=1+\sum _{i=1}^{n-1}(P_{i+1}-P_{i})} .
Par exemple, P 2 = S + 1 {\displaystyle P_{2}=S+1} (un point à chaque sommet et un point au centre).
Pour un polyèdre régulier à S sommets (vérifiant k F k = 2 A , A = F k + S − 2 {\displaystyle kF_{k}=2A,A=F_{k}+S-2} ), on obtient : P n = ( 2 n − 1 ) ( ( S − 2 ) ( n 2 − n ) + 6 ) 6 {\displaystyle P_{n}={\frac {(2n-1)((S-2)(n^{2}-n)+6)}{6}}} .
Exemples Nombre polyédrique centré faces, arêtes, sommets, degré d P n + 1 − P n {\displaystyle P_{n+1}-P_{n}} P n {\displaystyle P_{n}} P 1 , ⋯ , P 10 {\displaystyle P_{1},\cdots ,P_{10}} Rang OEIS Nombre tétraédrique centré F 3 = S = 4 , A = 6 , d = 3 {\displaystyle F_{3}=S=4,A=6,d=3} 2 ( n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(n^{2}+1)} 1 3 ( 2 n − 1 ) ( n 2 − n + 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(n^{2}-n+3)} 1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589 suite A005894 de l'OEIS Nombre cubique centré F 4 = 6 , A = 12 , S = 8 , d = 3 {\displaystyle F_{4}=6,A=12,S=8,d=3} 2 ( 3 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(3n^{2}+1)} ( 2 n − 1 ) ( n 2 − n + 1 ) = n 3 + ( n − 1 ) 3 {\displaystyle (2n-1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+(n-1)^{3}} 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729 suite A005898 de l'OEIS Nombre octaédrique centré F 3 = 8 , A = 12 , S = 6 , d = 4 {\displaystyle F_{3}=8,A=12,S=6,d=4} 2 ( 2 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(2n^{2}+1)} 1 3 ( 2 n − 1 ) ( 2 n 2 − 2 n + 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(2n^{2}-2n+3)} 1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159 suite A001845 de l'OEIS Nombre dodécaédrique centré F 5 = 12 , A = 30 , S = 20 , d = 3 {\displaystyle F_{5}=12,A=30,S=20,d=3} 2 ( 9 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(9n^{2}+1)} ( 2 n − 1 ) ( 3 n 2 − 3 n + 1 ) {\displaystyle (2n-1)(3n^{2}-3n+1)} 1, 21, 95, 259, 549, 1001, 1651, 2535, 3689, 5149 ... suite A193218 de l'OEIS Nombre icosaédrique centré F 3 = 20 , A = 30 , S = 12 , d = 5 {\displaystyle F_{3}=20,A=30,S=12,d=5} 2 ( 5 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(5n^{2}+1)} 1 3 ( 2 n − 1 ) ( 5 n 2 − 5 n + 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(5n^{2}-5n+3)} 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869 suite A005902 de l'OEIS Nombre tétraédrique tronqué centré F 3 = F 6 = 4 , A = 18 , S = 12 {\displaystyle F_{3}=F_{6}=4,A=18,S=12} 2 ( 7 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(7n^{2}+1)} 1 3 ( 2 n − 1 ) ( 7 n 2 − 7 n + 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(7n^{2}-7n+3)} 1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975 suite A063494 de l'OEIS Nombre cubique tronqué centré F 3 = 8 , F 8 = 6 , A = 36 , S = 24 {\displaystyle F_{3}=8,F_{8}=6,A=36,S=24} 2 ( 23 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(23n^{2}+1)} 1 3 ( 2 n − 1 ) ( 23 n 2 − 23 n + 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(23n^{2}-23n+3)} 1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401 Nombre octaédrique tronqué centré F 4 = 6 , F 6 = 8 , A = 36 , S = 24 {\displaystyle F_{4}=6,F_{6}=8,A=36,S=24} 2 ( 15 n 2 + 1 ) {\displaystyle 2(15n^{2}+1)} ( 2 n − 1 ) ( 5 n 2 − 5 n + 1 ) {\displaystyle (2n-1)(5n^{2}-5n+1)} 1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569 suite A005904 de l'OEIS
Cas du nombre polyédrique centré à faces centrées On remplace le nombre polygonal non centré par le nombre polygonal centré dans la formule ci-dessus.
Pour un polyèdre régulier ayant A arêtes, on obtient : P n ′ = ( 2 n − 1 ) ( A ( n 2 − n ) + 6 ) 6 {\displaystyle P'_{n}={\frac {(2n-1)(A(n^{2}-n)+6)}{6}}} .
Par exemple, P 2 ′ = A + 3 = F + S + 1 {\displaystyle P'_{2}=A+3=F+S+1} (un point à chaque sommet, un point au centre de chaque face et un point au centre).
Exemples Nombre polyédrique centré à faces centrées Nombre d'arêtes P n ′ {\displaystyle P'_{n}} P 1 ′ , ⋯ , P 10 ′ {\displaystyle P'_{1},\cdots ,P'_{10}} Rang OEIS Nombre tétraédrique centré à faces centrées A = 6 {\displaystyle A=6} ( 2 n − 1 ) ( n 2 − n + 1 ) = n 3 + ( n + 1 ) 3 {\displaystyle (2n-1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+(n+1)^{3}} 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729 suite A005898 de l'OEIS Nombre cubique centré à faces centrées Nombre octaédrique centré à faces centrées
A = 12 {\displaystyle A=12} ( 2 n − 1 ) ( 2 n 2 − 2 n + 1 ) = n 4 − ( n − 1 ) 4 {\displaystyle (2n-1)(2n^{2}-2n+1)=n^{4}-(n-1)^{4}} 1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439 suite A005917 de l'OEIS Nombre dodécaédrique centré à faces centrées Nombre icosaédrique centré à faces centrées
A = 30 {\displaystyle A=30} ( 2 n − 1 ) ( 5 n 2 − 5 n + 1 ) {\displaystyle (2n-1)(5n^{2}-5n+1)} 1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569 suite A005904 de l'OEIS
Références ↑ a b c d et e (en) Elena Deza et Michel Deza , Figurate Numbers , Singapour, World Scientific Publishing , 2012 , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3 , lire en ligne) , p. 120-138, 144-145, 125 pour Haüy ↑ a b et c (en) Boon K. Teo, N. J. A. Sloane, « Magic Numbers in Polygonal and Polyhedral Clusters », Inorg. Chem. , vol. 24, 1985 , p. 4545-4558 (lire en ligne) ↑ John H. Conway, Richard K.Guy, Le livre des nombres , Eyrolles, 1998 , p. 53-55 Bidimensionnel Tridimensionnel Quadridimensionnel Multidimensionnel
Arithmétique et théorie des nombres