Nombre carré centré
![Page d’aide sur l’homonymie](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Confusion_colour.svg/20px-Confusion_colour.svg.png)
Ne doit pas être confondu avec Nombre carré.
Un nombre carré centré C est un nombre figuré centré qui peut être représenté par C points dans un carré avec un point placé au centre et les autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. Ainsi, le n-ième carré centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté [1]:
C4,1 = 1
C4,2 = 1 + 4 = 5
C4,3 = 5 + 8 = 13
C4,4 = 13 + 12 = 25
Pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est aussi[1] la somme du n-ième et du (n – 1)-ième nombres carrés.
Relation de récurrence et premières formules explicites
Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième carré centré a un point central et n – 1 couches carrées.
Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième carré centré comporte 4(n – 1) points ; c'est le gnomon faisant passer du (n – 1)-ième carré centré au n-ième :
Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré égale donc 1 plus 4 fois la somme des entiers de 0 à n – 1 :
- (S), (D)
Exemple
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Centered_square_number_25.svg/220px-Centered_square_number_25.svg.png)
Le quatrième nombre carré centré est :
Liste de nombres carrés centrés
Les dix plus petits nombres carrés centrés sont :
- 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 (voir la suite A001844 de l'OEIS).
Relations avec les nombres triangulaires
- D'après son expression (S) ou (D) plus haut, le n-ième nombre carré centré est égal à 1 plus 4 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire Tn–1 = n(n – 1)/2 (en comptant 0 comme le 0-ième nombre triangulaire) :
- (T)
- Cette égalité peut se représenter par :
- De l'expression (D) plus haut ou (T) ci-dessus, on tire :
- pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs Tn–2, Tn–1, Tn, affectés des coefficients 1, 2, 1.
- Le cas C4,2 = T0 + 2T1 + T2 = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :
Relations avec les nombres carrés
- De l'expression (D) plus haut, on tire :
- pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré est[1] la somme du n-ième et du (n – 1)-ième carrés parfaits (en comptant 0 comme le 0-ième carré parfait).
- Exemple d'illustration :
- Si n est impair, on peut donc écrire :
- Exemple d'illustration :
- De même, si n est pair :
- Exemple :
- De l'expression (D) plus haut, on tire aussi :
- (trinôme du second degré sous forme canonique).
- Donc un entier C est carré centré si et seulement si 2C – 1 est un carré parfait impair.
- La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3, et 4 ; la n-ième figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points : à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.[réf. souhaitée]
Propriétés de congruence
- Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du n-ième nombre carré centré suit le motif 1-5-3-5-1.
- Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier p de 2n2 – 2n + 1, p est impair, et modulo p, puisque (n – 1)2 est congru à –n2, –1 est un résidu quadratique ; donc modulo 4, p est congru à 1.) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.
Égalités entre nombres carrés centrés et d'autres nombres figurés
Avec les nombres triangulaires
1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire. En effet, pour tout entier n ≥ 2,
Avec les nombres carrés
La recherche des solutions de l'équation diophantienne revient à la recherche des triplets pythagoriciens c.-à-d. ceux dont les deux plus petits termes sont consécutifs.
Les cinq plus petits nombres à la fois carrés centrés et carrés parfaits sont alors :
- C4,1 = 02 + 12 = 1 = 12 ; C4,4 = 32 + 42 = 25 = 52 ; C4,21 = 202 + 212 = 841 = 292 ;
- C4,120 = 1192 + 1202 = 28 561 = 1692 ; C4,697 = 6962 + 6972 = 970 225 = 9852.
Pour les suivants, voir[2],[3],[4],[5] :
- C4,
A046090 =
A0016522 +
A0460902 =
A008844 =
A0016532.
(Pour la suite des nombres carrés, voir A000290.)
On obtient la solution générale en mettant l'équation (n − 1)2 + n2 = m2 sous la forme :
- (2n – 1)2 – 2m2 = –1,
et en utilisant les solutions de l'équation de Pell-Fermat :
Nombres carrés centrés premiers
Les dix plus petits nombres à la fois carrés centrés et premiers sont :
- C4,2 = 5 = p3 ; C4,3 = 13 = p6 ; C4,5 = 41 = p13 ; C4,6 = 61 = p18 ; C4,8 = 113 = p30 ;
- C4,10 = 181 = p42 ; C4,13 = 313 = p65 ; C4,15 = 421 = p82 ; C4,18 = 613 = p112 ; C4,20 = 761 = p135.
Pour les suivants, voir[6],[7],[8] :
- C4,
A027861+1 =
A027862 = p
A091277.
(Pour la suite des nombres premiers, voir A000040.)
Références
- ↑ a b et c (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 48, 54
- ↑ (en) « Consider all Pythagorean triples (X, X+1, Z) ordered by increasing Z; sequence gives X values. », section « Comments », page
A001652.
- ↑ (en) « Consider all Pythagorean triples (X,X+1,Z) ordered by increasing Z; sequence gives X+1 values. », section « Name », page
A046090.
- ↑ (en) « Numbers simultaneously square and centered square. », section « Comments », page
A008844.
- ↑ (en) « Positive integers z such that z^2 is a centered square number. », section « Comments », page
A001653.
- ↑ (en) « Numbers k such that k^2 + (k+1)^2 is prime. », section « Name », page
A027861.
- ↑ (en) « Primes of the form j^2 + (j+1)^2. », section « Name », et « Centered square primes (i.e., prime terms of centered squares A001844). », section « Comments », page
A027862.
- ↑ (en) « Numbers k such that the k-th prime is of the form m^2 + (m+1)^2. », section « Name », page
A091277.
Voir aussi
Sur les autres projets Wikimedia :
- Nombre carré centré, sur Wikimedia Commons
v · m | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Bidimensionnel |
| ||||||
Tridimensionnel |
| ||||||
Quadridimensionnel |
| ||||||
Multidimensionnel |
|
Arithmétique et théorie des nombres