Tor函子

在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。

設 ${\displaystyle R}$ 為環。令 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$ 為左 ${\displaystyle R}$-模範疇、 ${\displaystyle \mathbf {Mod} -R}$ 為右 ${\displaystyle R}$-模範疇（若 ${\displaystyle R}$ 為交換環，則兩者等價）。固定一對象 ${\displaystyle B\in R-\mathbf {Mod} }$，考慮函子

${\displaystyle T_{B}(-):=-\otimes _{R}B}$

這是從 ${\displaystyle \mathbf {Mod} -R}$ 至阿貝爾群範疇 ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ 的右正合函子（若 ${\displaystyle R}$ 為交換環，則它是映至 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$ 的右正合函子），因此能考慮其左導函子 ${\displaystyle L_{\bullet }T_{B}}$，記為 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)}$。

換言之，對任一左 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle A}$ 取射影分解

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}$

去掉尾項 ${\displaystyle A}$，並對 ${\displaystyle B}$ 取張量積，得到鏈複形

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\otimes B\rightarrow P_{2}\otimes B\rightarrow P_{1}\otimes B\rightarrow 0}$

並取其同調群，則得到 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)}$

此外，Tor 函子也能以 ${\displaystyle A\otimes _{R}-}$ 的左導函子定義，兩種定義給出自然同構的函子。

• Tor 函子與直和交換：

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j})\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j})}$

• 對任何 ${\displaystyle n\geq 1}$，${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}}$ 是從 ${\displaystyle (\mathbf {Mod} -R)\times (R-\mathbf {Mod} )}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ 的加法函子。若 ${\displaystyle R}$ 是交換環，則它是從 ${\displaystyle (R-\mathbf {Mod} )\times (R-\mathbf {Mod} )}$ 到 ${\displaystyle R-\mathbf {Mod} }$ 的加法函子。
• 依據導函子性質，每個短正合序列 ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0}$ 導出長正合序列：

${\displaystyle \cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{n+1}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n-1}^{R}(K,B)\rightarrow \cdots }$

對第二個變數亦同。

• 若 ${\displaystyle R}$ 為交換環，${\displaystyle r\in R}$ 非零因子，則

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}}$

這是 Tor 函子的詞源。

• 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解（因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的），此時對所有 ${\displaystyle n\geq 2}$，有 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} }(-,-)=0}$。

設 ${\displaystyle A,B}$ 為交換環，${\displaystyle M}$ 為 ${\displaystyle B}$-模，並固定一個環同態 ${\displaystyle A\to B}$。我們有雙函子的自然同構：

${\displaystyle (-\otimes _{A}B)\otimes _{B}M=-\otimes _{A}M}$

由此導出格羅滕迪克譜序列：對任何 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle N}$，有譜序列

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\mathrm {Tor} _{p}^{B}(\mathrm {Tor} _{q}^{A}(N,B),M)\Rightarrow \mathrm {Tor} _{p+q}^{A}(N,M)}$

一個右 ${\displaystyle R}$-模是平坦模的充要條件是 ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,-)=0}$。此時可推出 ${\displaystyle \forall n\geq 1,\;\mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,-)=0}$。左 ${\displaystyle R}$-模的情況準此可知。事實上，計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必為平坦分解，反之則不然；平坦分解在技術上較富彈性。

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1