Vành chính : Ví dụ, Ghi chú, Tham khảo, Liên kết ngoài Wikipedia, bách khoa toàn thư mở

Vành chính

Trong toán học, một vành chính (hay một PID - principle ideal domain) là một miền nguyên mà mọi i-đê-an đều là i-đê-an chính, tức sinh bởi một phần tử duy nhất.^[1]

Một vành giao hoán i-đê-an chính là một vành giao hoán mà trong đó mọi i-đê-an là i-đê-an chính (nó khác với vành chính ở chỗ nó có thể có ước của 0).

Một vành i-đê-an chính là một vành (không nhất thiết giao hoán) mà trong đó mọi i-đê-an là i-đê-an chính.

Ví dụ

$K$ : bất kỳ trường nào,
$\mathbb {Z}$ : vành số nguyên,^[2]
$K[x]$ : các vành đa thức
$\mathbb {Z} [i]$ : vành số nguyên Gauss ^[3],

Phản ví dụ

Một số vành không phải là PID

$\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ không phải là một vành phân tách duy nhất, vì $4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).$ Do đó nó không phải là một PID.

Ghi chú

^ Nghiêm Xuân Cảnh (2008), Định nghĩa 1.4.1.3
^ Xem Fraleigh & Katz (1967), tr. 73, Corollary of Theorem 1.7, và ghi chú tr. 369, sau corollary of Theorem 7.2
^ Xem Fraleigh & Katz (1967), tr. 385, Theorem 7.8 và tr. 377, Theorem 7.4.

Tham khảo

John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Một khóa học đầu tiên trong đại số trừu tượng. Công ty xuất bản Addison-Wesley. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3
Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, VV Kirichenko. Đại số, vành và mô-đun. Nhà xuất bản học thuật Kluwer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
Nathan Jacobson. Đại số cơ bản I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1
Nghiêm Xuân Cảnh (2008), Mô đun tự do trên vành chính, (Luận văn thạc sĩ toán học), Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh
Paulo Ribenboim. Lý thuyết cổ điển về số đại số. Mùa xuân, 2001. ISBN 0-387-95070-2