Ảnh (toán học)

f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f.

Trong toán học, ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra.

Định nghĩa

Ảnh của một phần tử

Nếu x là một phần tử của X, thì f(x)=y (giá trị của f tại x) được gọi ảnh của x tạo bởi f.

Ảnh của một tập con

Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con

f [ A ] = { f ( x ) ∣ x ∈ A } {\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}

Ảnh của một hàm

Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó.

Nghịch ảnh

Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi[1]

f − 1 [ B ] = { x ∈ X | f ( x ) ∈ B } . {\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}

Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y.

Tính chất

Chung

Với mọi f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} các tập con A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} , B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} , ta có:

Hình ảnh Tiền đề
f ( X ) ⊆ Y {\displaystyle f(X)\subseteq Y} f − 1 ( Y ) = X {\displaystyle f^{-1}(Y)=X}
f ( f − 1 ( Y ) ) = f ( X ) {\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)} f − 1 ( f ( X ) ) = X {\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}
f ( f − 1 ( B ) ) ⊆ B {\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}
(ta có dấu bằng nếu B ⊆ f ( X ) {\displaystyle B\subseteq f(X)} , ví dụ như nếu f {\displaystyle f} là một toàn ánh) [2][3] 		f − 1 ( f ( A ) ) ⊇ A {\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}
(ta có dấu bằng bằng nếu f {\displaystyle f} là một đơn ánh)
f ( f − 1 ( B ) ) = B ∩ f ( X ) {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)} ( f | A ) − 1 ( B ) = A ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}
f ( f − 1 ( f ( A ) ) ) = f ( A ) {\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)} f − 1 ( f ( f − 1 ( B ) ) ) = f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}
f ( A ) = ∅ ⇔ A = ∅ {\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing } f − 1 ( B ) = ∅ ⇔ B ⊆ Y ∖ f ( X ) {\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}
f ( A ) ⊇ B ⇔ ∃ C ⊆ A : f ( C ) = B {\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B} f − 1 ( B ) ⊇ A ⇔ f ( A ) ⊆ B {\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}
f ( A ) ⊇ f ( X ∖ A ) ⇔ f ( A ) = f ( X ) {\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)} f − 1 ( B ) ⊇ f − 1 ( Y ∖ B ) ⇔ f − 1 ( B ) = X {\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}
f ( X ∖ A ) ⊇ f ( X ) ∖ f ( A ) {\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)} f − 1 ( Y ∖ B ) = X ∖ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}
f ( A ∪ f − 1 ( B ) ) ⊆ f ( A ) ∪ B {\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B} [4] f − 1 ( f ( A ) ∪ B ) ⊇ A ∪ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}
f ( A ∩ f − 1 ( B ) ) = f ( A ) ∩ B {\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B} f − 1 ( f ( A ) ∩ B ) ⊇ A ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}
  • f ( A ) ∩ B = ∅ ⇔ A ∩ f − 1 ( B ) = ∅ {\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }

Nhiều hàm

Cho hai hàm f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} và g : Y → Z {\displaystyle g:Y\rightarrow Z} và các tập con A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} , C ⊆ Z {\displaystyle C\subseteq Z} , ta có:

  • ( g ∘ f ) ( A ) = g ( f ( A ) ) {\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}
  • ( g ∘ f ) − 1 ( C ) = f − 1 ( g − 1 ( C ) ) {\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}

Nhiều tập hợp

Cho hàm f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} và các tập con A 1 , A 2 ⊆ X {\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X} , B 1 , B 2 ⊆ Y {\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y} , ta có:

Hình ảnh Tiền đề
A 1 ⊆ A 2 ⇒ f ( A 1 ) ⊆ f ( A 2 ) {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})} B 1 ⊆ B 2 ⇒ f − 1 ( B 1 ) ⊆ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}
f ( A 1 ∪ A 2 ) = f ( A 1 ) ∪ f ( A 2 ) {\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})} [4][5] f − 1 ( B 1 ∪ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∪ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}
f ( A 1 ∩ A 2 ) ⊆ f ( A 1 ) ∩ f ( A 2 ) {\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}
(ta có dấu bằng nếu f {\displaystyle f} là đơn ánh [6]) 		f − 1 ( B 1 ∩ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∩ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}
f ( A 1 ∖ A 2 ) ⊇ f ( A 1 ) ∖ f ( A 2 ) {\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})} (ta có dấu bằng nếu f {\displaystyle f} là đơn ánh) f − 1 ( B 1 ∖ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) ∖ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}
f ( A 1 △ A 2 ) ⊇ f ( A 1 ) △ f ( A 2 ) {\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}
(ta có dấu bằng nếu f {\displaystyle f} là đơn ánh) 		f − 1 ( B 1 △ B 2 ) = f − 1 ( B 1 ) △ f − 1 ( B 2 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}

Ngoài ra

  • f ( ⋃ s ∈ S A s ) = ⋃ s ∈ S f ( A s ) {\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}
  • f ( ⋂ s ∈ S A s ) ⊆ ⋂ s ∈ S f ( A s ) {\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}
  • f − 1 ( ⋃ s ∈ S B s ) = ⋃ s ∈ S f − 1 ( B s ) {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}
  • f − 1 ( ⋂ s ∈ S B s ) = ⋂ s ∈ S f − 1 ( B s ) {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}

Chú thích

  1. ^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 16
  2. ^ See p.39 of Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory.
  3. ^ See p.19 of Munkres, James R. (2000). Topology.
  4. ^ a b See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.
  5. ^ Kelley (1985), p. 85
  6. ^ See p.21 of Munkres, James R. (2000). Topology.

Tham khảo

  • Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
  • Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27 (ấn bản 2). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
  • Munkres, James R. (2000). Topology (ấn bản 2). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9.
  • Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
  • TS Blyth, Dàn và các cấu trúc đại số sắp thứ tự, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.