f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f. Trong toán học, ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra.
Định nghĩa
Ảnh của một phần tử
Nếu x là một phần tử của X, thì f(x)=y (giá trị của f tại x) được gọi ảnh của x tạo bởi f.
Ảnh của một tập con
Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con
![{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0252606caa691849fb8e56d74486a185e75bc061)
Ảnh của một hàm
Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó.
Nghịch ảnh
Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi[1]
![{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721a130e5a1ea872e75c1058ca861a40b2dda5db)
Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y.
Tính chất
Chung
Với mọi
các tập con
,
, ta có:
Hình ảnh | Tiền đề |
| |
| |
![{\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d5c87698478fc71f2cc87c6031b15423d8c3c3) (ta có dấu bằng nếu , ví dụ như nếu là một toàn ánh) [2][3] | ![{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f77fb712462c68175539d2cf23dda40f58a70f) (ta có dấu bằng bằng nếu là một đơn ánh) |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
[4] | |
| |
![{\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72326fd0af3038a3d8ccd9e912ac1a13741a145f)
Nhiều hàm
Cho hai hàm
và
và các tập con
,
, ta có:
![{\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc16303eed91c7a56bef614b005caa72076c3377)
![{\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd83f691e4d756d3a8e54a55dffece306683a84)
Nhiều tập hợp
Cho hàm
và các tập con
,
, ta có:
Hình ảnh | Tiền đề |
| |
[4][5] | |
(ta có dấu bằng nếu là đơn ánh [6]) | |
(ta có dấu bằng nếu là đơn ánh) | |
![{\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e76aba9f891c939558e333f9a34cf78cf1a6b3c) (ta có dấu bằng nếu là đơn ánh) | |
Ngoài ra
![{\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef26fe6f24cf1036ecca02444446e0949dcefb64)
![{\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e1ce1db23e32e16ca82245ce8e895c992d3e04)
![{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9526a1822c8cc73b848067e3414505a0cb4943c)
![{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303c836bb7e11be57df51a103b0d192f1c273e49)
Chú thích
- ^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 16
- ^ See p.39 of Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory.
- ^ See p.19 of Munkres, James R. (2000). Topology.
- ^ a b See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.
- ^ Kelley (1985), p. 85
- ^ See p.21 of Munkres, James R. (2000). Topology.
Tham khảo
- Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
- Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27 (ấn bản 2). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
- Munkres, James R. (2000). Topology (ấn bản 2). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9.
- Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
- TS Blyth, Dàn và các cấu trúc đại số sắp thứ tự, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.