Định lý Bolzano–Weierstrass

Nội dung của định lý: Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ.

Chứng minh cho định lý:

Ta lấy ví dụ 1 dãy {Un}n là một dãy bị chặn, khi đó tồn tại hai số a, b sao cho $a\leqq un\leqq b$ với mọi n thuộc N*. Ta chia [a, b] thành hai đoạn bằng nhau. Khi đó ít nhất một trong hai đoạn đó chứa vô số số hạng của dãy vì nếu không chính [a, b] chỉ chứa một số hữu hạn của dãy. Gọi [x, y] là một đoạn con có tính chất đó, ta có (y-x) = (b-a)/2. Ta lại chia [x, y] thành hai đoạn bằng nhau, và gọi [x', y'] là đoạn con chứa vô số số hạng của dãy. Ta có:

y'-x' = ${y-x \over 2}={b-a \over 4}$

Cứ tiếp tục như vậy ta xây dựng được dãy đoạn lồng nhau $[a,b]\supset [x,y]\supset [x',y']\supset ...\supset [x_{k},y_{k}]$ , với ${\textstyle y_{k}-x_{k}={(b-a) \over 2^{k}}\rightarrow 0}$ (với k dần tiến tới vô cùng). Mỗi đoạn này đều chứa vô số các số hạng của dãy {Un}n.