Рівняння xʸ = yˣ

Хоча операція піднесення до степеня не є комутативною, рівність ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ виконується для деяких пар ${\displaystyle (x,y),}$ наприклад, ${\displaystyle x=2,y=4.}$^[1]

Рівняння ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ згадано в листі Бернуллі до Гольдбаха (29 червня 1728 року^[2]). У листі сказано, що за ${\displaystyle x\neq y}$ пара ${\displaystyle (2,4)}$ — єдиний (з точністю до перестановки) розв'язок у натуральних числах, хоча існує безліч розв'язків у раціональних числах^[3][4]. У листі у відповідь Гольдбаха (31 січня 1729^[2]) міститься загальний розв'язок рівняння, отриманий заміною ${\displaystyle y=vx.}$^[3] Аналогічний розв'язок надав Ейлер^[4]. І. ван Генгель (J. van Hengel) вказав, що якщо ${\displaystyle r,n}$ — додатні цілі, ${\displaystyle r\geqslant 3}$ або ${\displaystyle n\geqslant 3,}$ то ${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r},}$ отже, для розв'язання рівняння в натуральних числах достатньо розглянути випадки ${\displaystyle x=1}$ і ${\displaystyle x=2.}$^[4][5]

Задачу неодноразово розглянуто в математичній літературі^{[3][4][2][6][7]}. 1960 року рівняння з'явилося серед завдань на олімпіаді імені Патнема^[en][8], що підштовхнуло А. Гауснера до розширення результатів на алгебричні поля^[3][9].

Нескінченну множину тривіальних розв'язків у додатних дійсних числах знаходять як розв'язок рівняння ${\displaystyle x=y.}$ Нетривіальні розв'язки можна знайти, поклавши ${\displaystyle x\neq y,}$${\displaystyle y=vx.}$ Тоді

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}$

Піднесення обох частин до степеня ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ із наступним діленням на ${\displaystyle x}$ дає

${\displaystyle v=x^{v-1}.}$

Тоді нетривіальні розв'язки в додатних дійсних числах виражаються як

${\displaystyle x=v^{\frac {1}{v-1}},}$

${\displaystyle y=v^{\frac {v}{v-1}}.}$

Нетривіальний розв'язок у натуральних числах ${\displaystyle 4^{2}=2^{4}}$ можна отримати, поклавши ${\displaystyle v=2}$ або ${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}.}$

Розв'язок рівняння ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ можна також виразити через неелементарну W-функцію Ламберта ${\displaystyle W(x)}$ від змінної ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}}$, зробимо заміну ${\displaystyle x={\frac {1}{z}}}$ :

${\displaystyle y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}}$

Тепер змінну ${\displaystyle z}$ можна виразити через W-функцію Ламберта: ${\displaystyle z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}$

Остаточно розв'язок виглядатиме так: ${\displaystyle x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}$

Зокрема, через неоднозначність цієї функції, на проміжку ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1}$ або ${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1}$ рівняння матиме два корені ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$.

Який із параметрів (${\displaystyle y}$ чи ${\displaystyle x}$), буде змінною, по суті, не важливо, формула залишиться такою ж.

Якщо при змінній ${\displaystyle x}$ (або ${\displaystyle y}$) виконується нерівність ${\displaystyle y}$ (або ${\displaystyle x}$)< ${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}}$, то коренів у дійсних числах немає.

Рівняння ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ є окремим випадком рівняння ${\displaystyle y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const}$ при ${\displaystyle b=1}$ і ${\displaystyle n=y}$. Підставивши ці значення в загальну формулу розв'язку, легко знайти і розв'язок початкового рівняння:

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}}$

Цей розв'язок повніший, оскільки дозволяє отримати від'ємні дійсні корені, якщо вони існують (бо логарифм, на відміну від експоненти в попередньому розв'язку, може бути меншим за нуль). Існування третього кореня пояснюється еквівалентністю рівнянь ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ і ${\displaystyle y^{x}=(-x)^{y}}$ при парному ${\displaystyle y}$, однак, на практиці, існує тільки, максимум, два дійсних корені (третій корінь у формулі обов'язково сторонній) через те, що функція суперкореня другого степеня ${\displaystyle f(z)={}^{\frac {1}{2}}z}$ обернена до описаної вище функції ${\displaystyle f(z)=z^{z}}$ (інакше ${\displaystyle f(z)={}^{2}z}$), яка виражається через W-функцію Ламберта, яка, у свою чергу, набувати більше двох дійсних значень не може^[10].

З цього розв'язку випливає тотожна рівність: ${\displaystyle -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}}$. Це легко довести, прирівнявши обидва описані вище розв'язки один до одного:

${\displaystyle -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}$, далі відповідно до властивостей логарифма та суперкореня другого степеня:

${\displaystyle \log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}$ . Доведена тотожність є часткою від загальнішого випадку при ${\displaystyle b=-y}$.

• Rational Solutions to x^y = y^x. CTK Wiki Math.
• x^y = y^x — commuting powers. Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. Архів оригіналу за 28 грудня 2015.
• dborkovitz (29 січня 2012). Parametric Graph of x^y=y^x. GeoGebra.
• послідовність A073084 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS: Десятковий розклад -x, де x — від'ємний розв'язок рівняння 2^x = x²