Matematikte, Lambert W fonksiyonu, aynı zamanda Omega fonksiyonu veya çarpım logaritması olarak da bilinen bir fonksiyon kümesidir.
f(w) = wew fonksiyonunda ew üstel fonksiyon ve w herhangi bir karmaşık sayı olmak üzere, bu fonksiyonun tersinin şubelerini ifade eder.
![{\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91868e902a7dc5ffc393c9fdc0c34ca6661e87a8)
![{\displaystyle Y=Ae^{A}\;\Longleftrightarrow \;A=W(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5683f951265a4acd9ddebcb69a4c44127b09d49e)
![{\displaystyle z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W\quad {\text{for }}z\neq -1/e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770da9546b4c0a8e17115ee03a92826b4c42f627)
![{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \{0,-1/e\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a8336557974a9c27f117ee3d2bd4bbf5a6e04e)
![{\displaystyle \left.{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=0}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cee5fd1e2c99112a0acff83581e0a5e43bcab2)
W(x) Fonksiyonun integrali şu şekildedir.
![{\displaystyle \int W(a)\,{\rm {d}}a=a\left(W(a)-1+{\frac {1}{W(a)}}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063186cb7ba43529a1ed0dae10eaa1235e3877b4)
Lambert W Fonksiyonun Serisi:
.
Doğal logaritma tabanı e w türünden özelliği:
İntegrali ise:
![{\displaystyle \int e^{W(a)}\,{\rm {d}}a=a^{2}(1+2W(a)){\frac {1}{4W(a)^{2}}}+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64da73cc36d542a4416c1ee7c169d0642b50a7a0)
- Lambert W Fonksiyonun yaklaşık değeri:
![{\displaystyle W_{0}(x)\approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a59b7d147c0402402c3750e45893c49359c8d5f)
- Lamber W Fonksiyonun sürekli kesri:
şimdi bu denklemde sol taraftaki x i sağ taraftaki x in yerine sonsuza kadar yazılırsa sürekli kesir meydana gelir.
o zaman
şimdi yerine yazılırsa sonuç: ![{\displaystyle W(y)=ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{ln{\cfrac {y}{lny_{\ddots }}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1972379cb5876915590db9efcba8d09d8a8e3747)
Bazı Değerler
(Omega Sabiti)
- Lambert W Fonksiyonuyla ilgili örnekler:
- Örnek : 1
yola çıkarak ![{\displaystyle x.e^{x}=2\Rightarrow x=W(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96287effab90757d4a166483c9522f23de6fd89f)
- Örnek : 2
![{\displaystyle (m+8).exp(m+8)=ln5\Rightarrow m+8=W(ln5)\Rightarrow m=W(ln5)-8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8bd112e690b2989e20836629c7103d419d6ae1)
- (Burada
demektir.) - Örnek : 3
burada hayal gücünü kullanarak her iki tarafın doğal logaritması alındı x=e^lnx şeklinde olursa ki bu örnek : 1 deki formüle benzetmek için. Kesinlikle ezberletme yok sadece örnek 1 deki formüle benzetmek yeterli.
(Burada lnx=f(x) e ve y=ln6 oldu.) - Örnek : 4
denkleminin çözümü için her iki tarafın doğal logaritması alınırsa
yandaki denklem 1/(8x) ile çarpıldı . Her iki tarafın -1 ile çarpılırsa
lambert W Fonksiyonuna uygun bir denklem elde edildi bu denklem ![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
(Burada f(x)=ln(1/(8x)) ve y=-(ln3)/8 oldu formül uygulandı.) Son denklemde x çekilirse
olur. - Sonuç olarak:
Bu değer
ye göredir
değeride vardır. - ÖNEMLİ NOKTA
- Yukarıdaki W(f(x)) fonksiyonların hepsi
göredir. Geneli
demektir.
olmak üzere - Örnek olarak
fonkisyonu hesap makinesiyle n=0 için ![{\displaystyle W_{0}(10)=W(10)=1,7455...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f2226c7c5d653cd79976bc244f36d80a9d7205)
- n=1 için
![{\displaystyle W_{1}(10)=0,7113...+i4,8577...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83528442464bc687ab93eb9c3a841aeb369bef1c)
- n=2 için
![{\displaystyle W_{2}(10)=-0,0941...+i10,9870...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44af229b81c17bc73a69068109342d4674742f14)
- n=3 için
![{\displaystyle W_{3}(10)=-0,5455...+i17,2471...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08204d03f9e4b7c1a5ba864d66f56377aac44a7d)
- .
- .
- .
- Örnekte görüldüğü gibi lambert W Fonksiyonun sadece bir çözümü yoktur. Çözüm kümesi birden çok olabilir.
Ayrıca bakınız
Notlar
Kaynakça
- Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). "On the Lambert W function" (PDF). Advances in Computational Mathematics. Cilt 5. Berlin, New York: Springer-Verlag. ss. 329-359. doi:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. 14 Aralık 2010 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Temmuz 2012.
- Scott, T.C.; Mann, R.B.; Martinez Ii, Roberto E. (2006). "General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function". AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing). 17 (1). ss. 41-47. arXiv:math-ph/0607011 $2. doi:10.1007/s00200-006-0196-1.
- Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J. (2013). "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function". SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation). 47 (185). ss. 75-83. 14 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Haziran 2014.
- Scott, T. C.; Fee, G.; Grotendorst, J.; Zhang, W. Z. (2014). "Numerics of the Generalized Lambert W Function". SIGSAM. 48 (1/2). ss. 42-56. 14 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Haziran 2014.
- Maignan, Aude; Scott, T. C. (2016). "Fleshing out the Generalized Lambert W Function". SIGSAM. 50 (2). ss. 45-60. doi:10.1145/2992274.2992275.
- Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
- Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). 8 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
- Şablon:Dlmf
- Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010).5 Haziran 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. C++ implementation using Halley's and Fritsch's iteration.
- National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W 15 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- MathWorld - Lambert W-Function 17 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Computing the Lambert W function
- Corless et al. Notes about Lambert W research 8 Nisan 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
- GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.