Hipergeometrik fonksiyon

Özel fonksiyonların önemli bir bölümünü oluşturan hipergeometrik fonksiyonlar matematik, fizik, mühendislik ve olasılıkta karşımıza çıkar.

Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyonlar

α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } ve γ {\displaystyle \gamma } reel ya da kompleks sabitler olmak üzere 1 + α β γ x 1 ! + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) γ ( γ + 1 ) x 2 2 ! + . . . {\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma }}{\frac {x}{1!}}+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}}{\frac {x^{2}}{2!}}+...} olarak ifade edilen seriye Gauss hipergeometrik serisi veya hipergeometrik seri denir. Bu ifade 1 + x + x 2 + . . . {\displaystyle 1+x+x^{2}+...} geometrik serisinin bir genelleştirilmesi olduğundan bu adı alır.

γ {\displaystyle \gamma } değeri sıfır ya da negatif bir tam sayı olmamalıdır. Hipergeometrik serisi | x | < 1 {\displaystyle \left|x\right|<1} için yakınsak, | x | > 1 {\displaystyle \left|x\right|>1} için ıraksaktır. | x | = 1 {\displaystyle \left|x\right|=1} olduğu zaman γ > α + β {\displaystyle \gamma >\alpha +\beta } ise seri mutlak yakınsaktır. x = − 1 {\displaystyle x=-1} iken γ > α + β − 1 {\displaystyle \gamma >\alpha +\beta -1} ise seri yakınsaktır.

Hipergeometrik serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir. 2 F 1 ( α , β ; γ ; x ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( β ) n ( γ ) n x n n ! {\displaystyle _{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}} dir.

Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden 2 F 1 {\displaystyle _{2}F_{1}} gösterimi yerine F {\displaystyle F} Gösterimide kullanılır. Yani F ( α , β ; γ ; x ) = 2 F 1 ( α , β ; γ ; x ) {\displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)} olup, bu fonksiyon Gauss hipergeometrik fonksiyonu veya hipergeometrik fonksiyon olarak bilinir.

Genelleştirilmiş ifadesi

p F q ( a 1 , … , a p ; b 1 , … , b q ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n … ( a p ) n ( b 1 ) n … ( b q ) n x n n ! {\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}} veya p F q ( a 1 , … , a p ; b 1 , … , b q ; z ) = ∑ k = 0 ∞ ∏ i = 1 p Γ ( k + a i ) Γ ( a i ) ∏ j = 1 q Γ ( b j ) Γ ( k + b j ) z k k ! ; p , q ∈ N 0 , {\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}};\quad p,q\in \mathbb {N} _{0},} şeklindedir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça