Kalkülüs |
---|
![Kalkülüs](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Riemann_sqrt.svg/180px-Riemann_sqrt.svg.png) |
|
|
İntegral İntegral Alma Yöntemleri: - Kısmi İntegrasyon
- değişken değiştirme
|
|
|
|
Matematikte, Hesse matrisi (İngilizce: Hessian matrix) bir skaler değerli fonksiyonun ya da skaler alanın ikinci-dereceden kısmi türevlerinden oluşan kare matristir. Çok değişkenli bir fonksiyonun yerel eğriliğini ifade eder.[1] Hesse matrisi, 19. yüzyılda Alman matematikçi Otto Hesse tarafından bulunmuştur ve ismini bu kişiden alır. Hesse'nin ilk kullandığı terim fonksiyonel determinantlardır.
Tanımı ve özellikleri
f : ℝn → ℝ girdi olarak bir vektör x ∈ ℝn alan ve çıktı olarak bir skaler f(x) ∈ ℝ veren bir fonksiyon olsun; eğer f'in tüm ikinci-dereceden kısmi türevleri alınabiliyorsa ve fonksiyonun tanım kümesinde sürekliyse, o zaman f'in Hesse matrisi H bir kare n×n matris olarak şu şekilde tanımlanır:
![{\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3268bb2afed0534da1e9493535b5ae1a5d08cc)
veya, i ve j indisleri kullanılarak daha öz bir şekilde ifade edilebilir:
![{\displaystyle \mathbf {H} _{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6955a47cee964faf7ebbc3ee7a2b28e39596413)
Bu matrisin determinantı da bazen Hesse olarak adlandırılır.[2]
Bir Hesse matrisinin Jacobi matrisiyle ilişkili olduğu söylenebilir: H(f(x)) = J(∇f(x))T.
f'in karışık türevleri Hesse'nin ilkköşegeninde yer almayan terimleridir. Sürekli oldukları kabul edilirse, türevleme sırası önemli değildir (Schwarz kuramı). Yani Hessian ilkköşegene göre simetriktir. Örneğin,
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161789854c67f91d7b32e75e9ed0c35991b72d2f)
Kaynakça
- ^ Ayvaz, Kevser (24 Mart 2016). "Hesse matrisi". Endüstri Mühendisliğim. 22 Mart 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Mart 2020.
- ^ Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. s. 190. ISBN 978-0-521-77541-0.