Kenar uzunlukları a, b ve c olan bir üçgen. Heron formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamaya yarayan geometri formülüdür. Yunan matematikçi Heron tarafından bulunmuştur.
![{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2040da62a4f48c9f502e3f38e44133524401c00)
s, üçgenin yarıçevresini göstermektedir:
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ed8a6e351198e0c4ca8d71fa2e2bc4171e9439)
Heron formülü şu şekillerde de yazılabilir:
![{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545efbb1659e0086ec7892e6f99b469f4bfa500b)
![{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d688e3bf46591af92410d859e01bbe47f3117c)
![{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1721c97f45ad680eaf6210bc42ef51f68cf16a6)
![{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b6532f7ce9c0719892f36dc7392f81018cc6f1)
Örnek
ΔABC, kenar uzunlukları a=7, b=4 ve c=5 olan bir üçgen olsun. Yarıçevre
ve alan
-
![{\displaystyle ={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3)}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9.8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c83e0f1de16c5c8c74ce23e58ba11c11319d5d)
İspatı
Kosinüs teoremini yazarsak,
![{\displaystyle \cos {\widehat {C}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65145ec4fdf1aed5f93a1bc1a05b9ad2ff60e937)
C açısının sinüsünü bulalım
![{\displaystyle \sin {\widehat {C}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\widehat {C}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8d4e98b0cf407e45fdd61fab0a714a56e8ccb4)
Üçgenin a kenarının yüksekliği b·sin(C) olur.
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{taban}})({\mbox{yukseklik}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {C}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854d4a71f137a4044fdab1f77e0501c8d6088e7b)
İspatın iki adımında, iki kare farkı kullanılmıştır.
Kaynakça
- "Heron's Formula". Mathworld. 5 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Ekim 2013.
|
---|
Üçgen Türleri | | |
---|
Yardımcı Elemanlar | |
---|
Teoremler ve bağıntılar | Pisagor teoremi · Ceva teoremi · Menelaus teoremi · Stewart teoremi · Thales teoremi · Öklid bağıntıları · Kosinüs teoremi · Sinüs teoremi · Tanjant teoremi · Heron formülü |
---|
|
---|
Matematikçiler (Zaman Çizelgesi) | |
---|
Yapıtlar | - Almagest
- Arşimet Parşömeni
- Arithmetika
- Konikler (Apollonius)
- Katoptrik (Yansımalar)
- Data (Öklid)
- Elemanlar (Öklid)
- Bir Çemberin Ölçümü
- Konikler ve Sferoidler Üzerine
- Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Aristarchus)
- Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Hipparchus)
- Hareketli Küre Üzerine (Autolycus)
- Öklid'in Optiği
- Sarmallar Üzerine
- Küre ve Silindir Üzerine
- Ostomachion (Syntomachion)
- Planisphaerium
- Sphaerics
- Parabolün Dörtgenleştirilmesi
- Kum Sayacı
- Sonsuz Küçükler Hesabı
|
---|
Merkezler | |
---|
Etkilendikleri | |
---|
Etkiledikleri | |
---|
Problemler | |
---|
Kavramlar/Tanımlar | |
---|
Bulgular | |
---|
|