Euler teoremi (geometri)

Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki ${\displaystyle d}$ uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:^[1][2]${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

veya eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir;

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$,

burada ${\displaystyle R}$ ve ${\displaystyle r}$, sırasıyla çevresel ve iç teğet çemberlerin yarıçapını belirtir. Teorem, adını 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır.^[3] Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.^[4]

Teoremi Euler eşitsizliği takip eder:^[5][6] ${\displaystyle R\geq 2r}$,

bu ifadede sadece eşkenar üçgen durumda eşitlik geçerlidir.^{[7] :p. 198}

İspat

${\displaystyle O}$ noktası, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve ${\displaystyle I}$ noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun, ${\displaystyle AI}$'nın uzantısı çemberi ${\displaystyle L}$ noktasında keser. O halde ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle BC}$ yayının orta noktasıdır. ${\displaystyle LO}$'yu birleştirin ve ${\displaystyle M}$'deki çevrel çemberi kesecek şekilde uzatın. ${\displaystyle I}$'dan ${\displaystyle AB}$'ye bir dik çizin ve ${\displaystyle D}$ onun ayağı olsun, yani ${\displaystyle ID=r}$'dir. ${\displaystyle \triangle ADI}$ üçgeninin ${\displaystyle \triangle MBL}$ üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir, bu nedenle ${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$, yani ${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$'dir. Bu nedenle ${\displaystyle 2Rr=AI\times BL}$'dir. ${\displaystyle BI}$'yı birleştirin. Çünkü;

${\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle A}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}$,

${\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}$,

${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$, ${\displaystyle BL=IL}$ ve ${\displaystyle AI\times IL=2Rr}$ olduğu bilgisine sahibiz. ${\displaystyle OI}$'yi çevrel çemberi ${\displaystyle P}$ ve ${\displaystyle Q}$ noktalarında kesecek şekilde genişletin; sonra ${\displaystyle PI\times QI=AI\times IL=2Rr}$, yani ${\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr}$, yani ${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$'dir.

Eşitsizliğin daha güçlü versiyonu

Matematiksel ifadenin daha güçlü bir versiyonu^{[7] :p. 198}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2}$,

olarak yazılabilir, burada a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır.

Dış teğet çember için Euler teoremi

Eğer ${\displaystyle r_{a}}$ ve ${\displaystyle d_{a}}$ sırasıyla ${\displaystyle A}$ tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapını gösterirse ve onu merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzunluk, o zaman ${\displaystyle d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})}$ olur.

Mutlak geometride Euler eşitsizliği

Euler eşitsizliği, verilen bir çember içine çizilmiş tüm üçgenler için, eşkenar üçgen için çevrel çemberin maksimum yarıçapına ulaşıldığını ve sadece bunun için geçerli olduğunu ifade eden biçimde mutlak geometride geçerlidir.^[8]

Ayrıca bakınız

• İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
• Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle d}$) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
• Üçgen eşitsizliklerin listesi

Kaynakça

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Euler Triangle Formula (MathWorld)
• "Euler's Formula and Poncelet Porism", cut-the-knot.org, 31 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020 
• "Euler Triangle Formula", ProofWiki, 15 Şubat 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020 

Konuyla ilgili yayınlar

• Lev Emelyanov & Tatiana Emelyanova (2001), "Euler's Formula and Poncelet's Porism", Forum Geometricorum, 1, ss. 137-140, ISSN 1534-1178 
• Benedetto Scimemi (2002), "Paper-folding and Euler's Theorem Revisited" (PDF), Forum Geometricorum, 2, ss. 93-104, 28 Ağustos 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Kasım 2020 
• Zhang, Z. H., Song, Q., & Wang, Z. S. (2003), "Some Strengthened Results On Euler's Inequality" (PDF), RGMIA research report collection, 6 (4) 
• Gerry Leversha & G. C. Smith (Kasım 2007), "Euler and Triangle Geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522), ss. 436-452, 5 Aralık 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020