Sylows satser

Sylows satser är en samling matematiska satser inom gruppteori uppkallade efter Ludwig Sylow^[1] . Sylows första sats ger ett tillräckligt villkor för att en ändlig grupp ska ha en undergrupp av ordning ${\displaystyle p^{m}}$ där p är ett primtal. Sylows andra sats säger att två p-Sylowundergrupper är konjugerade och Sylows tredje sats uttalar sig om antalet p-Sylowundergrupper.

Sylows satser och p-Sylowundergrupper är mycket viktiga inom ändlig gruppteori, speciellt inom klassificering av ändliga enkla grupper. På sätt och vis är Sylows satser en omvändning till Lagranges sats.

För ett primtal p är en p-grupp en grupp sådan att varje element i gruppen har ordning som är en potens av p. Dvs, om g är ett element i gruppen finns ett tal ${\displaystyle p^{m}}$ så att ${\displaystyle g^{p^{m}}}$ är identitetselementet. En p-undergrupp till en grupp G är en undergrupp som är en p-grupp.

En p-Sylowundergrupp H är en maximal p-undergrupp, dvs en p-undergrupp sådan att det finns någon annan p-undergrupp som innehåller H.

Om G är en ändlig grupp, p är ett primtal och ${\displaystyle p^{m}}$ delar ${\displaystyle |G|}$ så finns en undergrupp i G av ordning ${\displaystyle p^{m}}$.

En enkel följdsats av den här satsen är Cauchys sats: För varje ändlig grupp G och varje primtal p som delar ${\displaystyle |G|}$ så finns ett element i G med ordning p.

För en ändlig grupp G och ett primtal p, så är alla p-Sylowundergrupper i G konjugerade (och därför isomorfa), dvs om H och K är p-Sylowundergrupper finns ett element g i G så att ${\displaystyle H=gKg^{-1}}$.

Om G är en ändlig grupp, p är ett primtal som delar ${\displaystyle |G|}$ och ${\displaystyle n_{p}}$ är antalet p-Sylowundergrupper i G så är ${\displaystyle n_{p}}$ en delare till ${\displaystyle |G|}$ och ${\displaystyle n_{p}\equiv 1\mod p}$.

Ur Sylows satser följer det att för varje primtal p är varje p-Sylowundergrupp av samma ordning, ${\displaystyle p^{n}}$, och omvänt är varje delgrupp av ordning ${\displaystyle p^{n}}$ en p-Sylowundergrupp.

Ur Sylows tredje sats följer det att om ${\displaystyle n_{p}=1}$ är p-Sylowundergruppen till G en normal delgrupp.

Låt G vara en grupp med ordning 15 = 3 · 5. Sylows tredje sats ger att ${\displaystyle n_{3}}$ måste dela 5 och vara 1 (mod 3), vilket ger att ${\displaystyle n_{3}=1}$. Alltså finns endast en undergrupp av ordning 3 och den är normal. På samma sätt får man att det bara finns en undergrupp av ordning 5 och att även den är normal. Då 5 och 3 är relativt prima så är snittet mellan undergruppen trivialt, vilket ger att G är den inre direkta produkten av grupper av ordning 3 och 5, dvs den cykliska gruppen av ordning 15. Alltså finns, upp till isomorfi, endast en grupp av ordning 15.

• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4 

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Sylow theorems, 14 april 2009.