Superfakultet

Inom matematiken är superfakulteten en funktion relaterad till fakulteten. Den definierades av Neil Sloane och Simon Plouffe i The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995) som produkten av de ${\displaystyle n}$ första värdena på fakulteten. Utskrivet är den

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}$

En ekvivalent formulering är

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i)}$

som är determinanten av Vandermondematrisen.

De första värdena av superfakulteten är (från ${\displaystyle n=0}$):

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, 1834933472251084800000, 6658606584104736522240000000, 265790267296391946810949632000000000, 127313963299399416749559771247411200000000000, … (talföljd A000178 i OEIS)

Clifford Pickover definierade i sin bok Keys to Infinity (1995) beteckningen n$ för en variation av superfakulteten:

${\displaystyle n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!\end{matrix}},\,}$

som kan skrivas som,

${\displaystyle n\$=n!^{(4)}n!\,}$

där ⁽⁴⁾ betecknar hyper4-operatorn, eller genom att använda Knuths pilnotation

${\displaystyle n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!).\,}$

Denna följd av superfakulteter börjar

${\displaystyle 1\$=1\,}$

${\displaystyle 2\$=2^{2}=4\,}$

${\displaystyle 3\$=6\uparrow \uparrow 6={^{6}}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}.}$

Såsom vanligt tolkas itererade exponentationen på följande vis:

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}.\,}$

• Hyperfakultet

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Factorial#Superfactorial, 24 mars 2014.