Primtalszetafunktionen

Inom matematiken primtalszetafunktionen en analogi av Riemanns zetafunktion som har undersökts av Glaisher 1891. Den definieras som följande oändliga serie som konvergerar för ${\displaystyle \Re (s)>1}$:

${\displaystyle P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primtal} }{\frac {1}{p^{s}}}.}$

Av Eulerprodukten för Riemanns zetafunktion ζ(s) följer det att

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}}$

som med Möbiusinversion ger

${\displaystyle P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}}$

Då s närmar sig 1 är ${\displaystyle P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)}$. Detta används i definitionen av Dirichletdensitet.

Om vi definierar följden

${\displaystyle a_{n}=\prod _{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod _{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}}$

är

${\displaystyle P(s)=\log \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Primtalszetafunktionen är relaterad till Artins konstant enligt

${\displaystyle \ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(L_{n}-1)P(n)}{n}}}$

där L_n är det n-te Lucastalet.^[1]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Prime zeta function, 29 april 2014.

• Merrifield, C. W. (1881). ”The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers”. Proceedings of the Royal Society 33: sid. 4–10. doi:10.1098/rspl.1881.0063. 
• Fröberg, Carl-Erik (1968). ”On the prime zeta function”. Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) 8 (3): sid. 187–202. doi:10.1007/BF01933420. 
• Glaisher, J. W. L. (1891). ”On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers”. Quart. J. Math. 25: sid. 347–362. 
• Mathar, Richard J. (2018). ”Twenty digits of some integrals of the prime zeta function”. doi:10.48550/arXiv.0811.4739. https://arxiv.org/abs/0811.4739. 
• Li, Ji (2008). ”Prime graphs and exponential composition of species”. J. Combin. Theory A 115: sid. 1374—1401. doi:10.1016/j.jcta.2008.02.008. 
• Mathar, Richard J. (2015). ”Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli”. doi:10.48550/arXiv.1008.2547. https://arxiv.org/abs/1008.2547.