En oändlig produkt är inom matematiken en produkt som innehåller ett oändligt antal faktorer. Om an betecknar den nte faktorn, kan en sådan produkt skrivas
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0dfe9b7739d1b0c69abfb66d4a4c9941634b649)
Konvergens
Det finns två fall då denna produkt sägs konvergera:
, eller - Endast ett ändligt antal
är lika med 0.
Om något av dessa fall är uppfyllt sägs produkten vara konvergent; i annat fall är den divergent.
Exempel på divergenta produkter
Produkterna
och ![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae9c3e3ead7182340facab4f2c2761cebdb0c1d)
är inte konvergenta.
Krav för konvergens
Om
så konvergerar
om och endast om
konvergerar.
Exempel
Exempel på välkända oändliga produkter är Viètes formel för talet π,
,
och Wallis formel för detsamma,
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8206d9733144e478c16f711e2ee22b7a6f13c26e)