Multinomialsatsen är, inom matematik, en generalisering av binomialsatsen och är en framställning av ett multinom
som en summa av potenser i talen
.
Satsens lydelse
Låt
vara godtyckliga reella eller komplexa tal och
ett godtyckligt naturligt tal. Då kan potensen
framställas som följande summa:
![{\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}\,{\binom {n}{k_{1},\dots ,k_{m}}}\,a_{1}^{k_{1}}\cdots a_{m}^{k_{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d629f93e72fb4041a6ac690323c8028c468862)
Summasymbolen
indikerar att man skall summera över alla multipler
av naturliga tal sådana att deras summa
Symbolen
![{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34afd43f101ddf7ee843515a51654049d905466c)
där
(se fakultet), kallas multinomialkoefficient och är en generalisering av binomialkoefficienten
.
Exempel: Trinom
Trinomet
kan beräknas direkt genom utveckling av kvadraten eller genom användning av multinomialsatsen.
Multinomialsatsen kräver tripler
där komponenterna
,
och
är heltal i mängden
sådana att deras summa är
De möjliga triplerna är
och
.
- Det kan noteras att problemet att bestämma de möjliga triplerna är identiskt med problemet att finna antalet sätt att skriva talet 2 som en summa av tre naturliga tal. Den generella multinomialsatsen kräver en lösning till problemet att bestämma antalet sätt som det naturliga talet n kan skrivas som en summa av m naturliga tal.
Multinomialkoefficienterna associerade med de olika triplerna ovan är
![{\displaystyle {\binom {2}{1,1,0}}={\frac {2!}{1!1!0!}}=2={\binom {2}{1,0,1}}={\binom {2}{0,1,1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f7f61a573a599e6dfd996d709f08d579d2e1e7)
och
![{\displaystyle {\binom {2}{0,0,2}}={\frac {2!}{0!0!2!}}=1={\binom {2}{0,2,0}}={\binom {2}{2,0,0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1d07114e35dbcf82789ed1804809ff6818f6e3)
Multinomialsatsen ger oss potensen
som summan
![{\displaystyle +{\binom {2}{1,0,1}}a_{1}^{1}\,a_{2}^{0}\,a_{3}^{1}+{\binom {2}{0,1,1}}a_{1}^{0}\,a_{2}^{1}\,a_{3}^{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51bd91fec71e84cb0fb7419ad449b90d73176154)
vilket, med de beräknade multinomialkoefficienterna, är
![{\displaystyle a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2\,a_{1}\,a_{2}+2\,a_{1}\,a_{3}+2\,a_{2}\,a_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b220b995b3a44e9d351b8bfbcf8442bcdd2b3842)