Hilbert–Samuels funktion

Inom kommutativ algebra, en del av matematiken, är Hilbert–Samuels funktion, uppkallad efter David Hilbert och Pierre Samuel,^[1] av en nollskild ändligtgenererad modul ${\displaystyle M}$ över en kommutativ Noethersk lokal ring ${\displaystyle A}$ och ett primärt ideal ${\displaystyle I}$ av ${\displaystyle A}$ avbildningen ${\displaystyle \chi _{M}^{I}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ så att för alla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ är

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)}$

där ${\displaystyle \ell }$ betecknar längden av över ${\displaystyle A}$. Den är relaterad till Hilbertfunktionen av den associerade graderade modulen ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M)}$ enligt identiteten

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).}$

För tillräckligt stora ${\displaystyle n}$ är den lika med en polynomfunktion med grad lika med ${\displaystyle \dim(\operatorname {gr} _{I}(M))}$.^[2]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hilbert–Samuel function, 2 mars 2015.