Gross–Koblitzs formel

Inom matematiken är Gross–Koblitzs formel, introducerad av Gross och Koblitz (1979), en formel som uttrycker en Gaussumma som en produkt av värden av p-adiska gammafunktionen. Den är en analogi av Chowla–Selbergs formel för vanliga gammafunktionen. Den implicerar Hasse–Davenports relation och generaliserar Stickelbergers sats. Boyarsky (1980) gav ett annat bevis av formeln genom att använda Dworks arbete. Robert (2001) gav ett elementärt bevis.

Formeln

Gross–Koblitzs formel säger att Gaussumman τ kan skrivas med hjälp av p-adiska gammafunktionen Γp som

τ q ( r ) = − π s p ( r ) ∏ 0 ≤ i < f Γ p ( r ( i ) / ( q − 1 ) ) {\displaystyle \tau _{q}(r)=-\pi ^{s_{p}(r)}\prod _{0\leq i<f}\Gamma _{p}(r^{(i)}/(q-1))}

där

  • q är en potens pf av ett primtal p
  • r är ett heltal med 0 ≤ r < q–1
  • r(i) är heltalet vars som skrivet i bas p är en cyklisk permutation av de f siffrorna av r med i positioner.
  • sp(r) är summan av siffrorna av r i p
  • τ q ( r ) = ∑ a q − 1 = 1 a − r ζ π Tr ( a ) {\displaystyle \tau _{q}(r)=\sum _{a^{q-1}=1}a^{-r}\zeta _{\pi }^{{\text{Tr}}(a)}}

där summan är över enhetsrötterna i utvidgningen Qp(π)

  • π satisfierar πp – 1 = –p
  • ζπ är p-te roten av 1 kongruent 1+π mod π2.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Gross–Koblitz formula, 2 februari 2015.
  • Boyarsky, Maurizio (1980), ”p-adic gamma functions and Dwork cohomology”, Transactions of the American Mathematical Society 257 (2): 359–369, doi:10.2307/1998301, ISSN 0002-9947, http://dx.doi.org/10.2307/1998301 
  • Cohen, Henri (2007). Number Theory – Volume II: Analytic and Modern Tools. Graduate Texts in Mathematics. "240". Springer-Verlag. sid. 383–395. ISBN 978-0-387-49893-5 
  • Gross, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979), ”Gauss sums and the p-adic Γ-function”, Annals of Mathematics. Second Series 109 (3): 569–581, doi:10.2307/1971226, ISSN 0003-486X, http://dx.doi.org/10.2307/1971226 
  • Robert, Alain M. (2001), ”The Gross-Koblitz formula revisited”, Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. The Mathematical Journal of the University of Padova 105: 157–170, ISSN 0041-8994, http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_2001__105__157_0