Elastiska linjens ekvation

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2019-12) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Elastiska linjens differentialekvation beskriver böjtröghetsmomentet för en balk vid böjning och är en differentialekvation av andra ordningen:

${\displaystyle \mathrm {M(x)} =\mathrm {-E\,I} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}}$

där

${\displaystyle M}$ är böjmomentet,

${\displaystyle E}$ är elasticitetsmodulen,

${\displaystyle I}$ är balktvärsnittets böjtröghetsmoment och

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$ är utböjningens andraderivata.

Produkten ${\displaystyle E\,I}$ kallas balkens böjstyvhet.

Elastiska linjen är den kurva balkens axel (geometriska orten för tvärsnittsytornas tyngdpunkter) bildar vid balkens deformation. Linjen är en plan kontinuerlig kurva som ligger i böjningsplanet (det plan där spänning/tryck-krafterna orsakade av böjningen är noll).

Elastiska linjens ekvation används för att bestämma balkars böjning respektive lutningsvinklar:

${\displaystyle w(x),\quad {\frac {dw}{dx}}}$

Elastiska linjens ekvation kan kombineras med andra ekvationer eller samband, exempelvis

${\displaystyle \mathrm {T(x)} ={\frac {d}{dx}}{\Big (}\mathrm {-EI} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}{\Big )}}$

där ${\displaystyle T}$ är tvärkraften.

${\displaystyle \mathrm {q(x)} ={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\Big (}\mathrm {EI} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}{\Big )}}$

där ${\displaystyle q}$ är belastningsintensiteten (punktbelastningen) som vid utbredd last beror av lasten per längdenhet ${\displaystyle Q/L}$. Vanligt är att ${\displaystyle q}$ kan skrivas ${\displaystyle q=-Q/L}$