Brahmaguptas formel beskriver ett samband mellan arean för en godtycklig cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan skrivas in i en cirkel) och dess sidor. Formeln formulerades ursprungligen av den indiska matematikern Brahmagupta under 600-talet, dock utan bevis.[1] Formeln har sedan bevisats på flera olika sätt av olika matematiker. [1]
Formel
Brahmaguptas formel för en cyklisk fyrhörning med arean A och sidorna a, b, c, d skrivs vanligen
där
är semiperimetern (halva omkretsen).
Formeln kan dock skrivas utan semiperimetern på ekvivalent form
Vilket även kan skrivas
Ett liknande samband existerar för en godtycklig triangel (alla trianglar är cykliska) som kallas Herons formel. Genom att låta en av sidorna i en fyrhörning vara noll bildas en triangel. Sätts en av sidorna till noll i Brahmaguptas formel erhålls Herons formel. Brahmaguptas formel kan ses som en generalisering av Herons formel.[1]
Bevis
Bevis med trigonometriska samband
En cyklisk fyrhörning inskriven i en cirkel med beteckningar för hörn, sidor och vinklar
I beviset används beteckningar från figuren till höger.
Den cykliska fyrhörningen ABCD kan delas upp i två trianglar, ABD och BDC, vars areor enligt areasatsen ges av
Alltså ges den cykliska fyrhörningens area, A, av
Eftersom fyrhörningen är cyklisk gäller , vilket enligt en trigonometrisk identitet medför att . Alltså gäller
Kvadrering av båda led ger
Detta kan med hjälp av trigonometriska ettan skrivas
Trianglarna ABD och BDC har en gemensam sida DB. Enligt cosinussatsen gäller
Dessa likheter ger sambandet
Eftersom gäller enligt en trigonometrisk identitet att , vilket ger sambandet
Vilket kan skrivas som
Faktorisering i vänsterledet ger
Kvadrering av båda led följt av division med 4 ger
Ovanstående samband insatt i ger
Multiplikation med 4 ger
Högerledet kan med hjälp av konjugatregeln skrivas
Utveckling av de inre parenteserna ger
Vilken enligt kvadreringsregler kan skrivas
Vilket enligt konjugatregeln kan skrivas
Genom att subtrahera och addera termen med negativt tecken i varje faktor i högerledet fås
Genom att bryta ut 2 ur varje faktor i högerledet fås
Division med 16 ger
Introduceras nu semiperimetern, , erhålls
Roten ur ger slutligen
V.S.B.
Bevis utan trigonometriska samband
Formeln kan bevisas utan trigonometriska samband med hjälp av Herons formel och uppdelning i trianglar.[2]
Generalisering
Brahmaguptas formel kan generaliseras till att gälla även för konvexa icke-cykliska fyrhörningar enligt[1]
där och är motstående vinklar. Denna formel kallas Bretschneiders formel och Brahmaguptas formel är specialfallet för cykliska fyrhörningar vilket ger som innebär att cosinustermen blir noll.
Se även
Herons formel för arean av en triangel, specialfallet då en av sidorna är noll.
Bretschneiders formel för arean av en godtycklig konvex fyrhörning.
Referenser
Noter
^ [a b c d] Atzema, Eisso J. (2015-01-02). ”From Brahmagupta to Euler: on the formula for the area of a cyclic quadrilateral”. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics 30 (1): sid. 20–34. doi:10.1080/17498430.2014.942818. ISSN 1749-8430. http://dx.doi.org/10.1080/17498430.2014.942818.
^Fischbein, Kala; Brooks, Tammy (22 juli 1997). ”Brahmagupta's Formula”. http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Class/Brooks/Brahmagupta/Brahmagupta.html. Läst 15 maj 2015.