Boolesk ring
En boolesk ring är en ring R sådan att för alla element a, som tillhör R gäller att a² = a, det vill säga elementen är idempotenta.
Egenskaper
En boolesk ring är kommutativ, vilket kan bevisas med utgångspunkt från dess definition. Låt elementen a och b tillhöra R. Då fås:
vilket medför att,
Förenkling ger att, .
Efter det att ekvationens båda led subtraherats med fås att .
Detta samband ger att och även, om ersätts med , att .
Alltså,
varur man får att, och att, .
Således är ringens karakteristik = 2 och den additiva inversen till är , dvs är invers till sig själv.
Ringens kommutativitet ges av att, .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/A_DELTA_B.png/250px-A_DELTA_B.png)
Om potensmängden till en mängd M, är , där är en delmängd till , så är en boolesk ring med symmetrisk differens , motsvarande det logiska konnektivet XOR, som addition och snitt , motsvarande det logiska konnektivet AND, som multiplikation.
Allmänt gäller att varje boolesk ring är isomorf med en boolesk algebra med definitionerna:
- .
Med ovanstående räkneregler är en boolesk algebra. En boolesk ring och en boolesk algebra är således ekvivalenta begrepp.[1]
Varje delring och kvotring av en boolesk ring, är en boolesk ring.
Referenser
- Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham Massachusetts 1964.
- John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.
- Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
Noter
- ^ B.L. van der Waerden, Algebra. Springer-Verlag, Berlin 1936.