Teorija skupova kontinuuma

Teorija skupova kontinuuma od Kantorovih (nem. Georg Cantor) vremena pa do 1940-ih bavila se uglavnom realnim brojevima ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tj. kontinuumom. Glavni predmet istraživanja teorije skupova kontinuuma su bila svojstva regularnosti kao i druga strukturna svojstva skupova realnih brojeva definabilnih^[1] na ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Ovaj glavni predmet se često zove i deskriptivna teorija skupova^[2].

Da bi se mogao u potpunosti razumeti ovaj članak, potrebno je prvo ovladati Teorijom skupova.

Deskriptivna teorija skupova proučava svojstva i strukture definabilnih podskupova u ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ i u drugim poljskim prostorima, tj. onim koji su separabilni, metrički i kompletni. Kao primer poljskih prostora pomenućemo Berov (franc. René-Louis Baire) prostor svih funkcija ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$, prostor kompleksnih brojeva, Hilbertov (nem. David Hilbert) prostor i separabilne Banahove (polj. Stefan Banach) prostore. Najprostiji primer skupa realnih brojeva su osnovni otvoreni skupovi realnih brojeva tj. otvoreni intervali sa racionalnim granicama, te njihovi komplementi. Ako se uzmu osnovni otvoreni skupovi pa se na njih primene operacije komplementiranja prebrojivo mnogo puta i formira se prebrojiva unija tako dobijenih skupova, dobijaju se Borelovi (franc. Émile Borel) skupovi. Svi Borelovi skupovi poseduju sva svojstva regularnosti. Kao primer svojstva regularnosti imamo Lebegovu (franc. Henri Léon Lebesgue) merljivost. Skup realnih brojeva je merljiv po Lebegu ako se razlikuje od nekog Borelovog skupa za prazan skup. Ovo znači da se skup merljiv po Lebegu može prekriti otvorenim intervalima proizvoljno male dužine. Time su svi Borelovi skupovi merljivi po Lebegu.

Analitički skupovi, u oznaci ${\displaystyle \sideset {}{_{1}^{1}}\sum }$, definišu se kao neprekidne slike Borelovih skupova; koanalitički skupovi ili ${\displaystyle \sideset {}{_{1}^{1}}\prod }$ skupovi su komplementi analitičkih skupova. Projektivni skupovi se dobijaju projekcijom (${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {N} }$ na ${\displaystyle \mathbb {R} }$) i komplementiranjem analitičkih skupova. Projektivni skupovi formiraju hijerarhiju rastuće komplesnosti. Na primer, ako je ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {N} }$ koanalitički skup, onda je projekcija ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :\exists y\in \mathbb {N} ((x,y)\in A)\}}$ projektivni skup u sledećem nivou kompleksnosti iznad koanalitičkih skupova. Ovi skupovi se zovu ${\displaystyle \sideset {}{_{2}^{1}}\sum }$, a njihovi komplementi ${\displaystyle \sideset {}{_{2}^{1}}\prod }$.

Iz izloženog se da zaključiti da je skup ${\displaystyle A}$ realnih brojeva projektivan ako i samo ako je definabilan u sledećoj strukturi:

${\displaystyle \mathbb {R} =(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\mathbb {Z} )}$

Drugim rečima, u jeziku za ovu strukturu postoji formula prvog reda ${\displaystyle \phi (x,y_{1},\dots ,y_{n})}$ takva da je za neko ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} :\mathbb {R} \models \phi (x,r_{1},\dots ,r_{n})\}}$

Za neki skup realnih brojeva kaže se da ima Berovo svojstvo ako se razlikuje od otvorenog skupa za neki skup koji je prebrojiva unija skupova koji nije gust ni u jednom intervalu. Skup realnih brojeva ima svojstvo savršenosti ako je prebrojiv ili ako sadrži savršen skup, tj. zatvoren skup koji nema izoliranih tačaka.

Pomoću CFI je moguće pokazati da je svaki (ko)analitički skup merljiv po Lebegu i da ima Berovo svojstvo, a da svaki analitički skup ima svojstvo savršenosti. U CFI se ne može pokazati da svaki koanalitički skup ima svojstvo savršenosti.

Teorija projektivnih skupova čija je kompleksnost veća od kompleksnosti koanalitičkog skupa je potpuno CFI neodređena. Na primer, u ${\displaystyle L}$ postoji ${\displaystyle \sideset {}{_{2}^{1}}\sum }$ skup koji nije merljiv po Lebegu i nema Berovo svojstvo, a ako Martinova (engl. Donald A. Martin) aksioma važi — onda takav skup ima svojstva regularnosti.

Svojstvo regularnosti skupa koje u sebe uključuje sva druga klasična svojstva regularnosti se zove svojstvo determinacije. Ovo svojstvo se može objasniti koristeći Berov prostor ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$. Elementi prostora ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ su funkcije ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ odnosno nizovi prirodnih brojeva dužine ${\displaystyle \omega }$. Prostor ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ je topološki ekvivalent prostora iracionalnih tačaka u ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Pošto je skup racionalnih brojeva kao podskup skupa realnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {R} }$ prebrojiv a zainteresovani smo samo za svojstvo regularnosti, umesto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ se radi sa ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ pošto je skup racionalnih brojeva zanemarljiv što se tiče svojstva regularnosti.

Praktičan primer svojstva determinacije: Neka je ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {N}}}$. Igra ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{A}}$ definisana na ${\displaystyle A}$ ima dva igrača (${\displaystyle I}$ i ${\displaystyle II}$), koji naizmenično igraju ${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} }$, tj. igrač ${\displaystyle I}$ igra ${\displaystyle n_{0}}$, zatim ${\displaystyle II}$ igra ${\displaystyle n_{2}}$, pa ${\displaystyle I}$ igra ${\displaystyle n_{2}}$... Time u koraku ${\displaystyle 2k}$ igrač ${\displaystyle I}$ igra ${\displaystyle n_{2k}}$, a u koraku ${\displaystyle 2k+1}$ igrač ${\displaystyle II}$ igra ${\displaystyle n_{2k+1}}$. Posle beskonačno mnogo koraka, ova dva igrača će napraviti beskonačan niz ${\displaystyle n_{0},n_{1},n_{2},\dots }$ prirodnih brojeva. Bilo koji igrač pobeđuje ako ovaj niz pripadne ${\displaystyle A}$ nakon nekog koraka njegove igre.

Igra ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{A}}$ je determinisana ako postoji pobednička strategija za jednog od igrača. Pobednička strategija za jednog od igrača je funkcija ${\displaystyle \sigma }$ definisana na konačnom skupu prirodnih brojeva u ${\displaystyle \mathbb {N} }$, takva da ako igrač igra u saglasnosti sa ovom funkcijom, odnosno ako igra ${\displaystyle \sigma (n_{0},\dots ,n_{2k})}$ na ${\displaystyle k}$-tom koraku, taj igrač će uvek pobediti bez obzira šta igra njegov protivnik.

Kaže se da je podskup ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {N}}}$ determinisan ako i samo ako je igra ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{A}}$ determinisana. Koristeći CFI može se dokazati da postoje nedeterminisani skupovi. Aksioma determinacije (AD) kojim se tvrdi da su svi podskupovi skupa ${\displaystyle \mathbb {N} }$ determinisani je nesaglasan sa aksiomom izbora. Martin je dokazao da je u CF svaki Borelov skup determinisan.^[3] Aksiomom projektivne determinacije (PD) tvrdi se da je svaki projektivni skup determinisan. Pokazalo se da PD implicira da su svi projektivni skupovi realnih brojeva regularni.

Hipotezu kontinuuma (HK) formulisao je Kantor. Ovom hipotezom se tvrdi da svaki beskonačni skup realnih brojeva ima kardinalnost ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ili istu kardinalnost kao i ${\displaystyle \mathbb {R} }$, tj. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph ^{1}}$. Zatvoreni skupovi realnih brojeva imaju svojstvo savršenog skupa, odakle sledi da svaki neprebrojiv zatvoren skup realnih brojeva ima istu kardinalnost kao i ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Na taj način HK važi za zatvorene skupove. Aleksandrov (rus. Pável Sergéevič Aleksándrov) proširio je HK na Borelove skupove, a Suslin (rus. Mihail Яkovlevič Súslin) na sve analitičke skupove. HK nije proširena na koanalitičke skupove i ne može se dokazati za ove skupove u CFI. Gedel je dokazao da je HK dosledna (konzistentna sa) CF. Pod pretpostavkom da je CF dosledan, može se konstruisati neki CFI model koji se zove konstruktibilni univerzum, u kome HK važi. Da se dokazati da ako je CF dosledan, onda su zajedno dosledni CF, AI i HK. Otud sledi da, ako se pretpostavi da je CF dosledan, onda se AI ne može oboriti u CF niti se može oboriti HK u CFI.

• Wilder, R. L. (1965). The Foundations of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. izd. II. str. 150.
• Judah, H., Just, W., Woodin, H. Set Theory of the Continuum Springer Science & Business Media, Dec 6, 2012