Oblasti u matematičkoj analizi |
Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti |
Diferencijacija |
Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda |
Integracija |
Spisak integrala Neodređeni integral Određeni integral Višestruki integral Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija |
U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (takođe se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.
Zakon glasi:
![{\displaystyle (fg)'=gf'+fg'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776831df64023256a81d695f0ff8b10572ce0020)
ili direktno po Leibnizu:
![{\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60312dad4c1e518da7c1c5af73d7f5bf76a2544a)
Otkriće od strane Leibniza
Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći diferencijale. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći: Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv
| |
| |
Pošto je (du)(dv) izanemarivo, Leibniz je zaključio da je
![{\displaystyle d(uv)=v(du)+u(dv)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fafce16d7e91fb2ed4232d04ffe001724f569d7f)
što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=v\left({\frac {du}{dx}}\right)+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8f46125557ced8d04684dcbe903c3a42ec43e1)
koje se može napisati i kao
![{\displaystyle (uv)'=vu'+uv'.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066702b7621be647ead65d08a410455070adf23a)
Dokaz
Dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.
Pretpostavimo
![{\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba7a64e889f510b4f64fe7a5d57d5ac4a015c61)
i da su i f ig diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je
![{\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a007cacf294eb53ea6b81b7d9a9aa471691185e4)
Sada razlika
![{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894c439968a9a3b0696b27832d280d2548764704)
predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.
Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika
![{\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf1f2a3a119b01604b2f4382cfbfc841c534a9f)
Zbog toga, izraz (1) jednak je
![{\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550df5e8c2b9af2da4b4701d33d5e081430ba97e)
Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak
![{\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b954cae3a3a1543529dffa0c70bee32c7a7694c6)
Sada
![{\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ae98df0710e3b6cec9a334a53c2db12ed949cf)
jer f(x) ostaje konstanta kao w → x;
![{\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d416cc9a40bca4ddd13331e775bf8aefe654b7)
jer je g diferencijabilna u x;
![{\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9627e5d0d24e5155029eaa343c0a41e83a95233)
jer je f diferencijabilna u x;
Na kraju je
![{\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c7597a7402682c901a82330e99e916ece79476)
jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.
Zaključujemo da je izraz (5) jednak
![{\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cde29683a82a0a6fd76d9a68862eacecc5bf13a)
Povezano
- Pravilo izvoda količnika
- Pravilo izvoda složene funkcije
- Parcijalna integracija
- Diferencijal (analiza)
- Derivacija (apstraktna algebra)