Mersenneovi prosti brojevi

Mersenovi prosti brojevi su prosti brojevi oblika ${\displaystyle 2^{n}-1}$

Nije poznato da li ovih brojeva ima konačno ili beskonačno mnogo.

U januaru 2013. pronađen je, za sada najveći 48. po redu Mersenov prost broj koji za n=57885161, ima 17 425 170 cifara.

Naziv su dobili po matematičaru Marinu Mersennu. Marin Mersenn ( 8.09. 1588 - 1. 09. 1648) je bio francuski teolog, filozof, matematičar i teoretičar muzike, koga često nazivaju ocem akustike . Mersenn je bio centar naučnog svijeta i svijeta matematike u prvoj polovini XVII vijeka. u svojoj knjizi Cogita Physico– Mathematica iznio tvrdnju da je broj ${\displaystyle 2^{n}-1}$ za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 prost, a za sve druge prirodne brojeve manje od 257 da je složen. Kasnije su provjere pokazale kako je Mersenne pogriješio, brojevi ${\displaystyle m_{67}}$ i ${\displaystyle m_{257}}$ nisu prosti, a prosti su brojevi ${\displaystyle m_{61}}$, ${\displaystyle m_{89}}$ i ${\displaystyle m_{107}}$.

Ovo je nekoliko poslednjih

1963. godine u Sjedinjenim Americkim Državama kreiran je poštanski pečat na kojem stoji zapis da je broj ${\displaystyle 2^{11213}-1}$ prost. A na memorandumu velikog proizvodača računala IBM–a neko je vrijeme stajalo zapisano da je broj ${\displaystyle 2^{19937}-1}$ prost.

Provjera da li je neki broj oblika ${\displaystyle 2^{n}-1}$ Mersenneov ili nije je komplikovana. Broj ${\displaystyle 2^{n}}$ vrlo brzo raste pa je neophodno u provjerama koristiti kompjutore. No neki stariji rezultati su uistinu impresivni. Francuski matematičarEdouard Lucas(1842. - 1891.) dokazao je 1876. da je broj

${\displaystyle m_{127}=170141183460469231731687}$${\displaystyle 303715884105727}$prost broj.

Pritom je razvijao metode kojima bi se postupak provjere sto vise pojednostavnio, pa Lucasa danas smatraju pionirom modernog numeričkog računa. Važan je rezultat kako broj ${\displaystyle 2^{n}-1}$ uopšte može biti prost samo ako je ${\displaystyle n}$ prost. Uz traganje za Mersenneovim brojevima vezan je niz zgodnih detalja. Tako su, primjerice Laura Nickel i Curt Noll, dvoje osamnaestogodišnjih studenata Kalifornijskog sveučilista u Haywardu, otkrili uz pomoć računara da je ${\displaystyle 2^{21701}-1}$ prost broj. Taj broj sastoji se od ${\displaystyle 6533}$ cifri. Devetnaestogodišnji Amerikanac Ronald Clarkson je 1998. na svom kučnom računaru otkrio Mersenneov broj ${\displaystyle m_{3021377}}$ u čijem je zapisu ${\displaystyle 909526}$ cifri.

Mersenneovi prosti brojevi na Wikimedijinoj ostavi

• Mersenneovi brojevi Arhivirano 2020-10-01 na Wayback Machine-u