Binomna teorema
Binomna teorema je teorema elementarne algebre i opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti izraz (x + y)n sumom sabiraka oblika axbyc, gde su koeficijenti a pozitivni celi brojevi, pri čemu je zbir eksponenata x i yjednak n za svaki sabirak. Na primer:
Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti. Oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Ovi brojevi se mogu izračunati jednostavnom formulom koja koristi faktorijel.
Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici, gde je izraz xn−kyk jednak broju različitih kombinacija kelemenata koji se biraju iz skupa od n članova.
Formule
Koeficijent koji stoji uz xn−kyk dat je formulom:
koja je definisana uz pomoć funkcije faktorijela n!. Ova formula se može napisati i na sledeći način:
gde su k faktori i u imeniocu i u brojiocu razlomka. Iako se u ovoj formuli koristi razlomak, binomni koeficijenti su celi brojevi.
Iskaz teoreme
Svaki stepen izraza x + y moguće je predstaviti u formi:
gde označava odgovarajući binomni koeficijent. Drugi način zapisivanja ove formule je:
Literatura
- Bag, Amulya Kumar (1966). „Binomial theorem in ancient India”. Indian J. History Sci 1 (1): 68–74.
- DOI:10.2307/4145193
This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand - Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). „(5) Binomial Coefficients”. Concrete Mathematics (2nd izd.). Addison Wesley. str. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.