Уравнение xʸ = yˣ

Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ выполняется для некоторых пар ${\displaystyle (x,y),}$ например, ${\displaystyle x=2,y=4.}$^[1]

Уравнение ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728^[2]). В письме говорится, что при ${\displaystyle x\neq y}$ пара ${\displaystyle (2,4)}$ — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах^[3][4]. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729^[2]) содержится общее решение уравнения, полученное заменой ${\displaystyle y=vx.}$^[3] Аналогичное решение дано Эйлером^[4]. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если ${\displaystyle r,n}$ — положительные целые, ${\displaystyle r\geqslant 3}$ или ${\displaystyle n\geqslant 3,}$ то ${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r},}$ таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи ${\displaystyle x=1}$ и ${\displaystyle x=2.}$^[4][5]

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе^{[2][3][4][6][7]}. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема^[8], что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля^[3][9].

Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения ${\displaystyle x=y.}$ Нетривиальные решения можно найти, положив ${\displaystyle x\neq y,}$ ${\displaystyle y=vx.}$ Тогда

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}$

Возведение обеих сторон в степень ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ с последующим делением на ${\displaystyle x}$ даёт

${\displaystyle v=x^{v-1}.}$

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

${\displaystyle x=v^{\frac {1}{v-1}},}$

${\displaystyle y=v^{\frac {v}{v-1}}.}$

Нетривиальное решение в натуральных числах ${\displaystyle 4^{2}=2^{4}}$ можно получить, положив ${\displaystyle v=2}$ или ${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}.}$

Решение уравнения ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта ${\displaystyle W(x)}$ от переменной ${\displaystyle x}$:^[10]

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}}$, сделаем замену ${\displaystyle x={\frac {1}{z}}}$:

${\displaystyle y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}}$

Теперь переменную ${\displaystyle z}$ можно выразить через W-функцию Ламберта: ${\displaystyle z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}$

Окончательно решение будет выглядеть так: ${\displaystyle x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}$

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1}$ или ${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1}$ уравнение буде иметь два корня ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$.

Какой из параметров (${\displaystyle y}$ или ${\displaystyle x}$), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной ${\displaystyle x}$(или ${\displaystyle y}$) верно неравенство ${\displaystyle y}$(или ${\displaystyle x}$)<${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}}$, то корней в действительных числах нет.

Уравнение ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ является частным случаем уравнения ${\displaystyle y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const}$ при ${\displaystyle b=1}$ и ${\displaystyle n=y}$. Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:^[11]

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}}$

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ и ${\displaystyle y^{x}=(-x)^{y}}$ при чётном ${\displaystyle y}$, однако, на практике, существует только максимум два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени ${\displaystyle f(z)={}^{\frac {1}{2}}z}$ есть обратная к вышеописанной функции ${\displaystyle f(z)=z^{z}}$ (иначе ${\displaystyle f(z)={}^{2}z}$), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может^[12].

Из данного решения вытекает тождественное равенство: ${\displaystyle -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}}$. Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

${\displaystyle -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}$, далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

${\displaystyle \log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}$. Доказанное тождество является частным от более общего случая при ${\displaystyle b=-y}$^[11].

• Rational Solutions to x^y = y^x  (неопр.). CTK Wiki Math.
• x^y = y^x - commuting powers  (неопр.). Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. Архивировано 28 декабря 2015 года.
• dborkovitz. Parametric Graph of x^y=y^x  (неопр.). GeoGebra (29 января 2012).
• Последовательность A073084 в OEIS: Десятичное разложение -x, где x — отрицательное решение уравнения 2^x = x^2