Tabel de derivate

Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.

Găsirea derivatei este o operație primară în calculul diferențial. Acest tabel conține derivatele celor mai importante funcții, precum și reguli de derivare pentru funcții compuse.

În cele ce urmează, f și g sunt funcții de x, iar c este o constantă. Funcțiile sunt presupuse reale de variabilă reală. Aceste formule sunt suficiente pentru a deriva orice funcție elementară.

Reguli generale de derivare

( c f ) ′ = c f ′ {\displaystyle \left({cf}\right)'={cf}'}
( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle \left({f+g}\right)'={f}'+{g}'}
( f − g ) ′ = f ′ − g ′ {\displaystyle \left({f-g}\right)'={f}'-{g}'}
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle \left({fg}\right)'={f}'{g}+{f}{g}'}
( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 {\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}}
( f ∘ g ) ′ = ( f ′ ∘ g ) g ′ {\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}
( f g ) ′ = ( g f g − 1 ) f ′ + ( f g ln ⁡ f ) g ′ = f g ( f ′ g f + g ′ ln ⁡ f ) , f > 0 {\displaystyle (f^{g})'=(gf^{g-1})f'+(f^{g}\ln f)g'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0}

Derivatele funcțiilor simple

c ′ = 0 {\displaystyle c'=0}
x ′ = 1 {\displaystyle x'=1}
( | x | ) ′ = x | x | = sgn ⁡ x , x ≠ 0 {\displaystyle (|x|)'={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}
( x c ) ′ = c x c − 1 , x > 0 {\displaystyle (x^{c})'=cx^{c-1},\qquad x>0}
( x ) ′ = 1 2 x {\displaystyle ({\sqrt {x}})'={1 \over 2{\sqrt {x}}}}
( 1 x ) ′ = − 1 x 2 {\displaystyle \left({1 \over x}\right)'=-{1 \over x^{2}}}

Derivatele funcțiilor exponențiale și logaritmice

( n x ) ′ = n x ln ⁡ n , n > 0 {\displaystyle (n^{x})'={n^{x}\ln n},\qquad n>0}
( e x ) ′ = e x {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
( log n ⁡ x ) ′ = 1 x ln ⁡ n , n > 0 , n ≠ 1 {\displaystyle (\log _{n}x)'={1 \over x\ln n}\qquad ,n>0,n\neq 1}
( ln ⁡ x ) ′ = 1 x , x > 0 {\displaystyle (\ln x)'={1 \over x}\qquad ,x>0}

Derivatele funcțiilor trigonometrice

( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x {\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
( tg x ) ′ = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x = 1 + tg 2 x {\displaystyle ({\mbox{tg}}x)'={1 \over \cos ^{2}x}=\sec ^{2}x=1+{\mbox{tg}}^{2}x}
( sec ⁡ x ) ′ = sin ⁡ x cos 2 ⁡ x = tg x sec ⁡ x {\displaystyle (\sec x)'={\sin x \over \cos ^{2}x}={\mbox{tg}}x\sec x}
( ctg x ) ′ = − 1 sin 2 ⁡ x = − csc 2 ⁡ x = − 1 − ctg 2 x {\displaystyle ({\mbox{ctg}}x)'={-1 \over \sin ^{2}x}=-\csc ^{2}x=-1-{\mbox{ctg}}^{2}x}
( csc ⁡ x ) ′ = − cos ⁡ x sin 2 ⁡ x = − ctg x csc ⁡ x {\displaystyle (\csc x)'={-\cos x \over \sin ^{2}x}=-{\mbox{ctg}}x\csc x}

Derivatele funcțiilor trigonometrice inverse

( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
( arctg x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle ({\mbox{arctg}}x)'={1 \over 1+x^{2}}}
( arcsec ⁡ x ) ′ = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}
( arcctg x ) ′ = − 1 1 + x 2 {\displaystyle ({\mbox{arcctg}}x)'={-1 \over 1+x^{2}}}
( arccsc ⁡ x ) ′ = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

Derivatele funcțiilor hiperbolice

d d x sinh ⁡ x = cosh ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\sinh x=\cosh x}
d d x cosh ⁡ x = sinh ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\sinh x}
d d x tgh x = sech 2 x {\displaystyle {d \over dx}{\mbox{tgh}}x={\mbox{sech}}^{2}\,x}
d d x sech x = − tgh x sech x {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{sech}}\,x=-{\mbox{tgh}}x\,{\mbox{sech}}\,x}
d d x ctgh x = − csch 2 x {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{ctgh}}\,x=-\,{\mbox{csch}}^{2}\,x}
d d x csch x = − ctgh x csch x {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{csch}}\,x=-\,{\mbox{ctgh}}\,x\,{\mbox{csch}}\,x}

Derivatele funcțiilor hiperbolice inverse

d d x arcsinh x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{arcsinh}}\,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
d d x arccosh x = − 1 x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{arccosh}}\,x={-1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
d d x arctgh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{arctgh}}\,x={1 \over 1-x^{2}}}
d d x arcsech x = 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{arcsech}}\,x={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d d x arcctgh x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{arcctgh}}\,x={1 \over 1-x^{2}}}
d d x arccsch x = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\,{\mbox{arccsch}}\,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}

Vezi și

  • Tabel de integrale