Radical al unui ideal

În teoria inelelor^⁠(d) radicalul unui ideal^[1] ${\displaystyle I}$ al unui inel comutativ este un alt ideal definit de proprietatea că un element ${\displaystyle x}$ aparține radicalului dacă și numai dacă o putere a lui ${\displaystyle x}$ este în ${\displaystyle I}$. Un ideal radical (sau ideal semiprim) este un ideal care este egal cu radicalul său. Radicalul unui ideal primar este un ideal prim.

Acest concept este generalizat pentru inele necomutative^⁠(d) în articolul inel semiprim.

Definiție

Radicalul unui ideal ${\displaystyle I}$ dintr-un inel comutativ ${\displaystyle R}$, notat cu ${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$ sau ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$, este definit ca

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{ pentru unii }}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},}$

(de notat că ${\displaystyle I\subset {\sqrt {I}}}$). Intuitiv, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ este format din toate rădăcinile elementelor lui ${\displaystyle I}$ din inelul ${\displaystyle R}$. Echivalent, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ este inversul imaginii idealului elementelor nilpotente (nilradicalul) ale inelului factor ${\displaystyle R/I}$ (prin aplicația naturală ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$). Se poate demonstra că ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ este un ideal.

Dacă radicalul lui ${\displaystyle I}$ este finit generat, atunci o putere a lui ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ este conținută în ${\displaystyle I}$.^[2] În particular, dacă ${\displaystyle I}$ și ${\displaystyle J}$ sunt idealele unui inel noetherian^⁠(d), atunci ${\displaystyle I}$ și ${\displaystyle J}$ au același radical dacă și numai dacă ${\displaystyle I}$ conține o anumită putere a lui ${\displaystyle J}$ și ${\displaystyle J}$ conține o anumită putere a lui ${\displaystyle I}$.

Dacă un ideal ${\displaystyle I}$ coincide cu propriul său radical, atunci ${\displaystyle I}$ se numește ideal radical sau ideal semiprim.

Exemple

• Fie inelul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ al numerelor intregi.
  1. Radicalul idealului ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ al multiplilor întregi ai lui ${\displaystyle 4}$ este ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$.
  2. Radicalul lui ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$ este ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$.
  3. Radicalul lui ${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$ este ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$.
  4. În general, radicalul lui ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ este ${\displaystyle r\mathbb {Z} }$, unde ${\displaystyle r}$ este produsul tuturor factorilor primi distincți din ${\displaystyle m}$, cel mai mare factor liber de pătrate al ${\displaystyle m.}$ De fapt, acest lucru se generalizează la un ideal arbitrar (v. mai jos).

• Fie idealul ${\displaystyle I=\left(y^{4}\right)\subset \mathbb {C} [x,y]}$. Este trivial de arătat că ${\displaystyle {\sqrt {I}}=(y)}$ (folosind proprietatea de bază ${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$). Radicalul ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ corespunde cu nilradicalul ${\displaystyle {\sqrt {0}}}$ al inelului factor ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$, care este intersecția tuturor idealelor prime ale inelului factor. Acesta este conținut în radicalul Jacobson^⁠(d), care este intersecția tuturor idealelor maximale, care sunt nucleele^⁠(d) homomorfismelor^⁠(d) cu corpurile. Orice homomorfism de inele ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$ trebuie să aibă ${\displaystyle y}$ în nucleu pentru a avea un homomorfism bine definit (dacă, de exemplu, am spune că nucleul ar trebui să fie ${\displaystyle (x,y-1)}$ compunerea ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C} }$ ar fi ${\displaystyle \left(x,y^{4},y-1\right)}$ care este același lucru cu încercarea de a forța ${\displaystyle 1=0}$). Deoarece ${\displaystyle \mathbb {C} }$ este un corp algebric închis, orice homomorfism ${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$ trebuie să factorizeze în ${\displaystyle \mathbb {C} }$, deci va trebui doar să se calculeze intersecția lui ${\displaystyle \{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}}$ pentru a calcula radicalul lui ${\displaystyle (0).}$ Rezultă că ${\displaystyle {\sqrt {0}}=(y)\subset R.}$

Proprietăți

În această secțiune se va continua convenția că I este idealul unui inel comutativ ${\displaystyle R}$.

• Este întotdeauna adevărat că

${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$,

adică obținerea radicalului este o operație idempotentă^⁠(d). Mai mult, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ este cel mai mic ideal radical care îl conține pe ${\displaystyle I}$.

• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ este intersecția tuturor idealelor prime ale lui ${\displaystyle R}$ care îl conțin pe ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{prim}}}{R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},}$

și prin urmare radicalul unui ideal prim este egal cu el însuși. Afirmația poate fi întărită puțin: radicalul lui ${\displaystyle I}$ este intersecția tuturor idealelor prime ale lui ${\displaystyle R}$ care sunt minimale între cele care-l conțin pe ${\displaystyle I}$.

• Utilizând ultimul punct, nilradicalul este egal cu intersecția tuturor idealelor prime ale lui ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prim}}}{\mathfrak {p}}.}$

Această proprietate este considerată echivalentă cu prima prin aplicația naturală ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$ care dă o bijecție ${\displaystyle u}$:^[3]

${\displaystyle \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$ defined by ${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .}$

• Un ideal ${\displaystyle I}$ dintr-un inel ${\displaystyle R}$ este radical dacă și numai dacă inelul factor ${\displaystyle R/I}$ este redus.

• Radicalul unui ideal omogen este omogen.

• Radicalul unei intersecții de ideale este egal cu intersecția radicalilor lor: ${\displaystyle {\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$.

• Radicalul unui ideal primar este prim. Dacă radicalul unui ideal ${\displaystyle I}$ este maximal, atunci ${\displaystyle I}$ este primar.^[4]

• Dacă ${\displaystyle I}$ este un ideal, ${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$. Deoarece idealele prime sunt ideale radicale, ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}}$ pentru orice ideal prim ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

• Fie ${\displaystyle I,J}$ idealele unui inel ${\displaystyle R}$. Dacă ${\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}}$ sunt comaximale, atunci ${\displaystyle I,J}$ sunt comaximale.

• Fie ${\displaystyle M}$ un {{ill-wd| Q1340572||modul finit generat]] peste un inel noetherian^⁠(d) ${\displaystyle R}$. Atunci^[5]

${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$

unde ${\displaystyle \operatorname {supp} M}$ este suportul pentru ${\displaystyle M,}$ iar ${\displaystyle \operatorname {ass} M}$ este mulțimea de prime asociate lui ${\displaystyle M}$.

Aplicații

Motivația principală în studierea radicalilor este teorema zerourilor a lui Hilbert^⁠(d) în algebra comutativă. O versiune a acestei celebre teoreme afirmă că pentru orice ideal ${\displaystyle J}$ din inelul de polinoame^⁠(d) ${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ peste un corp algebric închis ${\displaystyle \mathbb {k} }$, există

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}}$

unde

${\displaystyle \operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}}$

și

${\displaystyle \operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.}$

Geometric, aceasta spune că dacă o varietate^⁠(d) ${\displaystyle V}$ este tăiată de ecuația polinomială ${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0}$, atunci singurele alte polinoame care se anulează în ${\displaystyle V}$ sunt cele din radicalul idealului ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{r})}$.

Un alt mod de a spune: compunerea ${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}}$ este un operator de închidere^⁠(d) pe mulțimea idealelor unui inel.

Note

Bibliografie

• en Atiyah, Michael Francis; Macdonald, Ian G. (1994). Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5. 
• en Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. 150. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960. 
• en Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001 

Vezi și

• Radical Jacobson
• Nilradical al unui inel