Proprietatea lui Darboux

În analiza matematică, o funcție definită pe un interval al mulțimii numerelor reale și cu valori în aceasta are proprietatea lui Darboux^[1] atunci când nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare. O astfel de funcție se mai numește și funcție Darboux. Denumirea reprezintă un omagiu adus matematicianului francez Jean Gaston Darboux, cel care a demonstrat că există funcții cu proprietatea lui Darboux care sunt discontinue^[2]. Funcțiile Darboux pot fi chiar discontinue în orice punct^[3].

O funcție ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$, unde ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice numere ${\displaystyle a,\,b\in I}$, cu ${\displaystyle a\leq b}$, și ${\displaystyle y\in \left[\min \left\{f(a),f(b)\right\},\max \left\{f(a),f(b)\right\}\right]}$ există (cel puțin) un număr ${\displaystyle x\in [a,b]}$ astfel încât ${\displaystyle f(x)=y}$.

Orice funcție continuă, definită pe un interval, are proprietatea lui Darboux^[4]. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema valorii intermediare.

O funcție ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$, unde ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice subinterval ${\displaystyle J\subseteq I}$ într-un interval, ${\displaystyle f(J)}$^[5].

O funcție are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice submulțime conexă a intervalului său de definiție într-o mulțime conexă^[6].

O funcție ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$, unde ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ este un interval nevid, care este bijectivă și are proprietatea lui Darboux este strict monotonă^[7].

Dacă o funcție Darboux este discontinuă, atunci discontinuitățile sale sunt de speța a doua. Un exemplu de funcție Darboux discontinuă este dat de ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, cu formula ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\sin {\frac {1}{x}},&x\neq 0,\\0,&x=0,\end{array}}\right.}$ unde ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Derivata ${\displaystyle f^{\prime }}$ a unei funcții derivabile ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$, unde ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux^[8]. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema lui Darboux.

Dacă o funcție admite primitive, atunci ea este funcție Darboux.