Paralelism (geometrie)

Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.
Pentru figura de stil, vedeți Paralelism sintactic.

În geometrie, paralelismul se referă la o proprietate relațională, în cadrul unui spațiu euclidian, a două sau mai multe subspații (de exemplu drepte sau plane). Presupusa existență și proprietățile dreptelor paralele formează baza axiomei paralelelor a lui Euclid. Două drepte într-un plan care nu se pot intersecta se numesc drepte paralele. Analog, într-un spațiu tridimensional, o dreaptă și un plan sau două plane pot fi paralele; în general, într-un spațiu euclidian n-dimensional, un spațiu m-dimensional și un spațiu n−1-dimensional (cu m ≤ n − 1 {\displaystyle m\leq n-1} ) sunt paralele dacă nu au vectori în comun.

În spații neeuclidiene, dreptele paralele sunt cele care se intersectează doar la limită la infinit.

Simbol

Simbolul pentru paralelism este ∥ {\displaystyle \parallel } . De exemplu A B ∥ C D {\displaystyle AB\parallel CD} arată că dreapta AB este paralelă cu dreapta CD.

În setul de caractere Unicode, semnele „paralel” și „neparalel” sunt alocate codurilor U+2225 (∥) și respectiv U+2226 (∦).

Paralelism euclidian

Aşa cum arată marcajele, dreptele a şi b sunt paralele. Aceasta se poate demonstra arătând că secanta t produce unghiuri congruente.

Date fiind dreptele l și m, următoarele descrieri pentru m o definesc echivalent ca paralelă la dreapta l într-un spațiu euclidian:

  1. Toate punctele de pe dreapta m se află la exact aceeași distanță minimă de dreapta l (drepte echidistante).
  2. Dreapta m se află în același plan ca dreapta l dar nu se intersectează cu l (chiar și presupunând că dreptele se extind până la infinit în ambele direcții).
  3. Dreptele m și l sunt intersectate de o a treia dreaptă (o secantă) din același plan, iar unghiurile corespunzătoare intersecției cu secanta sunt egale. (Această afirmație este echivalentă cu axioma paralelelor a lui Euclid.)

Cu alte cuvinte, dreptele paralele trebuie să se afle în același plan, iar planele paralele trebuie să se afle în același spațiu tridimensional. O dreaptă poate fi paralelă cu un plan în același spațiu tridimensional.

Construcție

Cele trei definiții de mai sus duc la trei metode diferite de construire a dreptelor paralele.

Problemă: Trageţi o dreaptă prin a paralelă la l.
  • Definiţia 1: Dreapta m are aceeaşi distanţă faţă de dreapta l.
    Definiţia 1: Dreapta m are aceeaşi distanţă faţă de dreapta l.
  • Definiţia 2: Se ia o dreaptă oarecare prin a care intersectează l în x. Se duce punctul x la infinit.
    Definiţia 2: Se ia o dreaptă oarecare prin a care intersectează l în x. Se duce punctul x la infinit.
  • Definiţia 3: Atât l cât şi m au o aceeaşi secantă prin a care le intersectează la 90°.
    Definiţia 3: Atât l cât şi m au o aceeaşi secantă prin a care le intersectează la 90°.

O altă definiție a dreptelor paralele utilizată frecvent este aceea că două drepte sunt paralele dacă nu se intersectează, dar aceasta este valabilă doar într-un spațiu bidimensional.

Distanța între două drepte paralele

Întrucât o dreaptă paralelă este o dreaptă formată din puncte aflate la aceeași distanță față de cealaltă, atunci există o unică distanță între cele două drepte paralele. Date fiind ecuațiile a două drepte paralele neverticale:

y = m x + b 1 {\displaystyle y=mx+b_{1}\,}
y = m x + b 2 {\displaystyle y=mx+b_{2}\,}

distanța între cele două drepte se poate găsi rezolvând sistemul de ecuații liniare:

y = m x + b 1 {\displaystyle y=mx+b_{1}\,}
y = − x / m {\displaystyle y=-x/m\,}

și sistemul:

y = m x + b 2 {\displaystyle y=mx+b_{2}\,}
y = − x m {\displaystyle y={\frac {-x}{m}}\,}

pentru a obține coordonatele picioarelor unei perpendiculare pe cele două drepte. Soluția sistemelor este:

x 1   = − b 1 m m 2 + 1 {\displaystyle x_{1}\ ={\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}}\,}
y 1   = b 1 m 2 + 1 {\displaystyle y_{1}\ ={\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\,}
x 2   = − b 2 m m 2 + 1 {\displaystyle x_{2}\ ={\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}}\,}
y 2   = b 2 m 2 + 1 {\displaystyle y_{2}\ ={\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\,}

Introducând în formula distanței euclidiene rezultă:

d = ( b 1 m − b 2 m m 2 + 1 ) 2 + ( b 2 − b 1 m 2 + 1 ) 2 {\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,}

...

d = ( b 2 − b 1 ) 2 m 2 + 1 {\displaystyle d={\sqrt {\frac {(b_{2}-b_{1})^{2}}{m^{2}+1}}}\,}
d = | b 2 − b 1 | m 2 + 1 {\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,}

adică:

d = | b 2 − b 1 | m 2 + 1 m 2 + 1 . {\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{m^{2}+1}}{\sqrt {m^{2}+1}}.}

De asemenea, dacă cele două drepte sunt

a x + b y + c 1 = 0 {\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}
a x + b y + c 2 = 0 {\displaystyle ax+by+c_{2}=0\,}

atunci distanța între ele poate fi formulată astfel:

d = | c 2 − c 1 | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Legături externe

  • Construcția unei linii paralele cu o paralelă dată, printr-un punct exterior (dat sau oarecare) acesteia, utilizând un compas și un liniar — la [Math Open References