Matrice idempotentă

În algebra liniară, o matrice idempotentă^[1] este o matrice care, atunci când este înmulțită cu ea însăși, rezultatul este tot ea însăși.^[2][3] Adică, matricea ${\displaystyle A}$ este idempotentă dacă și numai dacă ${\displaystyle A^{2}=A}$.^[1] Pentru ca acest produs ${\displaystyle A^{2}}$ să fie definit, ${\displaystyle A}$ trebuie să fie neapărat o matrice pătrată. Privite astfel, matricile idempotente sunt elemente idempotente^⁠(d) ale inelelor de matrici^⁠(d).

Exemple de matrici 2 × 2 idempotente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}$

Exemple de matrici 3 × 3 idempotente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}$

Dacă matricea ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ este idempotentă, atunci

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc,}$
• ${\displaystyle b=ab+bd,}$ care implică ${\displaystyle b(1-a-d)=0}$ deci ${\displaystyle b=0}$ sau ${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle c=ca+cd,}$ care implică ${\displaystyle c(1-a-d)=0}$ deci ${\displaystyle c=0}$ sau ${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}.}$

Astfel, o condiție necesară ca o matrice ${\displaystyle 2\times 2}$ să fie idempotentă este să fie fie una diagonală, fie ca urma sa să fie egală cu 1. Pentru matricele diagonale idempotente, ${\displaystyle a}$ și ${\displaystyle d}$ trebuie să fie fie 1, fie 0.

Dacă ${\displaystyle b=c}$, matricea ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ va fi idempotentă cu condiția ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$ deci a satisface ecuația de gradul al doilea

${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,}$ sau ${\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}$

care este un cerc cu centrul (1/2, 0) și raza 1/2. Cu variabila θ,

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$

este idempotentă. Însă ${\displaystyle b=c}$ nu este o condiție necesară: orice matrice ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$ cu ${\displaystyle a^{2}+bc=a}$ este idempotentă.

Singura matrice idempotentă care nu este inversabilă este matricea unitate; adică, dacă o matrice care nu este una unitate este idempotentă, numărul său de linii (sau coloane) independente este mai mic decât numărul său de linii (sau coloane).

Asta se poate arăta scriind ${\displaystyle A^{2}=A}$, presupunând că A nu este singulară, înmulțind-o cu ${\displaystyle A^{-1}}$ se obține ${\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I}$.

Când o matrice idempotentă este scăzută din matricea unitate, rezultatul este și el idempotent. Acest lucru este valabil deoarece

${\displaystyle (I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A.}$

Dacă matricea A este idempotentă, atunci pentru orice număr întreg pozitiv n, ${\displaystyle A^{n}=A}$. Acest lucru poate fi demonstrat folosind demonstrarea prin inducție. Pentru ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle A^{1}=A}$. Presupunând că ${\displaystyle A^{k-1}=A}$, atunci ${\displaystyle A^{k}=A^{k-1}A=AA=A}$, deoarece A este idempotentă. Prin inducție, rezultatul este demonstrat.

O matrice idempotentă este întotdeauna diagonalizabilă^⁠(d).^[4] Valorile sale proprii sunt sau 0, sau 1: dacă ${\displaystyle \mathbf {x} }$ este un vector propriu nenul a unei matrice idempotente ${\displaystyle A}$ iar ${\displaystyle \lambda }$ este valoarea sa proprie asociată, atunci ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ ceea ce implică ${\displaystyle \lambda \in \{0,1\}.}$ Asta implică faptul că determinantul unei matrice idempotente este întotdeauna 0 sau 1. După cum s-a menționat mai sus, dacă determinantul este egal cu unu, matricea este inversabilă și, prin urmare, este matricea unitate.

Urma unei matrice idempotente — suma elementelor de pe diagonala sa principală — este egală cu rangul matricei, prin urmare este întotdeauna un număr întreg. Aceasta oferă o modalitate simplă de a calcula rangul, respectiv urma, unei matrice ale cărei elemente nu sunt specificate (ceea ce este util în statistică, de exemplu, în stabilirea biasului^⁠(d) unui eșantion variant ca estimare a varianței întregii populații).

În analiza de regresie se știe că matricea ${\displaystyle M=I-X(X'X)^{-1}X'}$ produce reziduurile ${\displaystyle e}$ din regresia vectorului variabilelor dependente ${\displaystyle y}$ din matricea covariatelor ${\displaystyle X}$. (v. secțiunea „Aplicații”.) Acum, fie ${\displaystyle X_{1}}$ o matrice formată dintr-un subset de coloane ale lui ${\displaystyle X}$ și fie ${\displaystyle M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'}$. Este ușor de demonstrat că atât ${\displaystyle M}$ cât și ${\displaystyle M_{1}}$ sunt idempotente, dar un fapt oarecum surprinzător este că ${\displaystyle MM_{1}=M}$. Acest lucru se datorează faptului că ${\displaystyle MX_{1}=0}$, sau cu alte cuvinte, reziduurile din regresia coloanelor lui ${\displaystyle X_{1}}$ din ${\displaystyle X}$ sunt 0 deoarece ${\displaystyle X_{1}}$ poate fi interpolat perfect, deoarece este un subset al lui ${\displaystyle X}$ (este simplu să se arate că ${\displaystyle MX=0}$ prin substituție directă). Aceasta duce la alte două rezultate importante: unul este că ${\displaystyle (M_{1}-M)}$ este simetric și idempotent, iar celălalt este că ${\displaystyle (M_{1}-M)M=0}$, adică ${\displaystyle (M_{1}-M)}$ este ortogonal cu ${\displaystyle M}$. Aceste rezultate joacă un rol cheie, de exemplu, în obținerea testului F.

Orice matrice asemenea cu una idempotentă este și ea idempotentă. Idempotența este conservată la o schimbarea bazei^⁠(d). Acest lucru poate fi demonstrat prin înmulțirea cu matricea transpusă ${\displaystyle SAS^{-1}}$ cu ${\displaystyle A}$ fiind idempotentă: ${\displaystyle (SAS^{-1})^{2}=(SAS^{-1})(SAS^{-1})=SA(S^{-1}S)AS^{-1}=SA^{2}S^{-1}=SAS^{-1}}$.

Matricele idempotente apar frecvent în analiza de regresie și econometrie. De exemplu, în metoda liniară a celor mai mici pătrate^⁠(d) problema regresiei este de a alege un vector β de estimări de coeficienți astfel încât să fie minimizată suma reziduurilor pătrate (predicții greșite) e_i: sub formă de matrice:

de minimizat ${\displaystyle (y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )}$

unde ${\displaystyle y}$ este un vector care conține mărimile variabilelor dependente, iar ${\displaystyle X}$ este o matrice în care fiecare din coloanele ei este o coloană de observații ale variabilelor independente. Rezultatul estimării este

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}$

unde prin T este notată matricea transpusă, iar vectorul reziduurilor este:^[3]

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.}$

Aici ambele ${\displaystyle M}$ și ${\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}$ sunt matrici idempotente și simetrice, fapt care simplifică calculul sumei pătratelor reziduurilor:

${\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.}$

Idempotența lui ${\displaystyle M}$ joacă un rol și în alte calcule, cum ar fi determinarea varianței estimării ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$.

Portal Matematică