Inegalitatea lui Bessel

Inegalitatea lui Bessel este, în analiza funcțională, o teoremă referitoare la legătura dintre coeficienții unui element X dintr-un spațiu Hilbert și un șir ortonormal. Poartă numele matematicianului german Friedrich Wilhelm Bessel.

Fie ${\displaystyle H}$ un spațiu Hilbert și să presupunem că ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ este un șir ortonormat în ${\displaystyle H}$. Atunci, pentru orice ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle H}$ avem:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$ unde <∙,∙> semnifică produsul intern în cadrul spațiului Hilbert ${\displaystyle H}$.

Dacă definim suma infinită:

${\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},}$

fiind suma infinită a proiecțiilor vectorilor ${\displaystyle x}$ pe direcția ${\displaystyle e_{k}}$, inegalitatea lui Bessel conduce deci la concluzia că această serie este convergentă.

Inegalitatea lui Bessel rezultă din identitatea:

${\displaystyle \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}$

valabilă pentru orice ${\displaystyle n}$, cu excepția cazului când ${\displaystyle n}$ este mai mic decât 1.

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.