Geometria numerelor

Geometria numerelor este partea teoriei numerelor care folosește geometria pentru studiul numerelor algebrice. De obicei un inel de întregi algebrici este privit ca o rețea în ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ iar studiul acestor rețele oferă informații fundamentale despre numerele algebrice.^[1] Geometria numerelor a fost inițiată de Hermann Minkowski (1910).

Geometria numerelor are o relație strânsă cu alte domenii ale matematicii, în special cu analiza funcțională și aproximarea diofantică (problema găsirii numerelor raționale care aproximează un număr irațional).

Presupunem că ${\displaystyle \Gamma }$ este o rețea în spațiul euclidian ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ și ${\displaystyle K}$ este o mulțime convexă central simetrică. Teorema lui Minkowski, numită uneori prima teoremă a lui Minkowski, afirmă că dacă ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$, atunci ${\displaystyle K}$ conține un vector nenul din ${\displaystyle \Gamma }$.

Minimul succesiv ${\displaystyle \lambda _{k}}$ este definit ca fiind infimumul numerelor ${\displaystyle \lambda }$ pentru care ${\displaystyle \lambda K}$ conține ${\displaystyle k}$ vectori liniar independenți din ${\displaystyle \Gamma }$. Teorema lui Minkowski asupra minimelor succesive, numită uneori a doua teoremă a lui Minkowski, este o întărire a primei sale teoreme și afirmă că^[2]

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

În perioada 1930-1960 s-au efectuat cercetări în geometria numerelor de către mulți specialiști în teoria numerelor (incluzându-i pe Louis Mordell, Harold Davenport și Carl Ludwig Siegel). În ultimii ani, Lenstra, Brion și Barvinok au dezvoltat teorii combinatoriale care enumeră punctele laticiale din unele mulțimi convexe.^[3]

În geometria numerelor, teorema subspațiului a fost obținută de Wolfgang M. Schmidt în 1972.^[4] Aceasta afirmă că dacă n este un întreg pozitiv, L₁,...,L_n sunt forme liniare liniar independente în n variabile cu coeficienți algebrici și ε>0 este un număr real dat, atunci punctele nenule întregi x în n coordonate care satisfac

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

se află într-un număr finit de subspații proprii ale lui Qⁿ.

Geometria numerelor a lui Minkowski a influențat profund analiza funcțională. Minkowski a demonstrat că mulțimile convexe simetrice induc norme în spații vectoriale finit dimensionale. Teorema lui Minkowski a fost generalizată la spații vectoriale topologice de către Kolmogorov, a cărui teoremă afirmă că mulțimile convexe simetrice care sunt închise și mărginite generează topologia unui spațiu Banach.^[5]

Cercetătorii continuă să studieze generalizările la domeniile stelate și la alte mulțimi neconvexe.^[6]

• Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2007.
• Enrico Bombieri; Vaaler, J. (1983). „On Siegel's lemma”. Inventiones Mathematicae. 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73...11B. doi:10.1007/BF01393823. 
• Enrico Bombieri; Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry. Cambridge U. P. 
• J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (retipărire a edițiilor Springer-Verlag din 1959 și 1971).
• John Horton Conway și N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, ed. a treia, 1998.
• R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Ediția a doua: 2006.
• P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
• P. M. Gruber, J. M. Wills (editori), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
• M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
• Hancock, Harris (1939). Development of the Minkowski Geometry of Numbers. Macmillan.  (Republicată în 1964 de Dover.)
• Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xii+240, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777 
• C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
• Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W. Jr.; Lovász, L. (1982). „Factoring polynomials with rational coefficients” (PDF). Mathematische Annalen. 261 (4): 515–534. doi:10.1007/BF01457454. 
• Lovász, L.: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
• Malyshev, A.V. (2001), „Geometry of numbers”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, JFM 41.0239.03, MR 0249269, accesat în 28 februarie 2016 
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics. 1467 (ed. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. 
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag. 
• Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
• Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. doi:10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II . Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. doi:10.2307/1989946