Funcție regulată

Funcțiile regulate sunt funcții reale, utile pentru teoria integrării. La această categorie aparțin funcțiile în trepte și cele continue cel puțin pe porțiuni.

Definiție. (Funcția în trepte) Fie ${\displaystyle [a,b]}$ un interval compact. O funcție ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ se numește funcție în trepte dacă există mai multe puncte ${\displaystyle a=c_{0}<c_{1}<\cdots <c_{n}=b}$ astfel încât pentru orice ${\displaystyle k=1,2,\cdots ,n}$ restricția ${\displaystyle f|_{c_{k-1},c_{k}}}$ este constantă.

Definiție. (Continuitate parțială) Fie ${\displaystyle [a,b]}$ un interval compact. O funcție ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ se numește continuă pe porțiuni dacă există mai multe puncte ${\displaystyle a=c_{0}<c_{1}<\cdots <c_{n}=b}$ astfel încât pentru orice ${\displaystyle k=1,2,\cdots ,n}$ restricția ${\displaystyle f|_{c_{k-1},c_{k}}}$ este continuă și în plus:

${\displaystyle f(c_{k-1}^{+})=\lim _{x\downarrow c_{k-1}}f(x)}$

${\displaystyle f(c_{k}^{-})=\lim _{x\uparrow c_{k}}f(x)}$

Definiție. (Funcție regulată) Fie un interval ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ cu punctul inițial ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$ și punctul final ${\displaystyle b\in {\overline {\mathbb {R} }}.}$

O funcție ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ se numește funcție regulată dacă sunt valabile următoarele:

1. Pentru orice punct interior ${\displaystyle x\in (a,b)}$ există în ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o limită la stânga ${\displaystyle f(x^{+})}$ și una la dreapta ${\displaystyle f(x^{-}).}$
2. Dacă punctul inițial ${\displaystyle a\in I}$, atunci există și limita la drepta ${\displaystyle f(a^{+})\in \mathbb {R} .}$
3. Dacă punctul final ${\displaystyle b\in I}$, atunci există și limita la stânga ${\displaystyle f(a^{-})\in \mathbb {R} .}$

Mulțimea funcțiilor regulate pe I se notează ${\displaystyle {\mathcal {R}}(I)={\mathcal {R}}(I,\mathbb {R} ).}$

Fie ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$ o mulțime algebrică afină, ${\displaystyle W\subseteq V}$ o submulțime deschisă și o funcție ${\displaystyle f:W\to K.}$ Spunem că f este regulată în punctul ${\displaystyle P\in W}$ dacă există o vecinătate deschisă U a lui P în W și două polinoame ${\displaystyle g,h\in K\left[X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}\right]}$, astfel încât h nu se anulează pe U și:

${\displaystyle f_{|U}={\frac {g}{h}}.}$

Spunem că f este regulată pe W dacă este regulată în orice punct al mulțimii W.

• de Universität des Saarlandes: "Regelfunktionen"