Funcție concavă
În matematică o funcție reală de variabilă reală este concavă pe un interval atunci când graficul său se află deasupra dreptei care unește punctele ce reprezintă valorile funcției la extremitățile intervalului.
Funcțiile concave jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare, în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, și în rezolvarea anumitor ecuații.
Definiție
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/ConcaveDef.png/300px-ConcaveDef.png)
O funcție reală de variabilă reală pe un interval (sau, mai general, o mulțime într-un spațiu vectorial) se spune că este concavă dacă pentru orice și din interval și pentru orice ,[1]
Se spune că o funcție este strict concavă[2] dacă
pentru orice și .
Pentru o funcție , această a doua definiție afirmă doar că pentru fiecare strict între și , punctul de pe graficul lui este deasupra dreptei care unește punctele și .
Proprietăți
1. O funcție derivabilă f este (strict) concavă pe un interval dacă și numai dacă derivata sa este (strict) monoton descrescătoare pe acel interval, adică o funcție concavă are o pantă necrescătoare (descrescătoare).[3][4]
2. Punctele în care concavitatea se modifică între concav și convex sunt puncte de inflexiune.[5]
3. Dacă este derivabilă de două ori, atunci dacă este concavă, este negativă. Dacă funcția este strict concavă, derivata sa de ordinul al doilea este strict negativă. Dar inversa nu este adevărată, așa cum se vede din
4. Dacă f este concavă și derivabilă, atunci este mărginită superior de aproximația lui Taylor(d) de ordinul întâi:[6]
5. O funcție măsurabilă Lebesgue pe un interval C este concavă dacă și numai dacă este concavă la mijloc, adică pentru orice x și y din C
6. Dacă o funcție f este concavă și f(0) ≥ 0, atunci f este subaditivă(d) pe .
- Demonstrație:
- Deoarece f este concavă și 1 ≥ t ≥ 0, pentru y = 0 se obține
- Pentru :
Exemple
- Funcțiile și sunt concave pe domeniile lor, ca și derivatele lor secundare și care sunt întotdeauna negative.
- Funcția logaritm este concavă pe domeniul său , iar derivata este o funcție strict descrescătoare.
- Orice funcție afină este atât concavă, cât și convexă, dar nici strict concavă, nici strict convexă.
- Funcția sinus este concavă pe intervalul .
- Funcția , unde este determinantul unei matrice nenegativ-definită B, este concavă.[7]
Note
- ^ en Lenhart, S.; Workman, J. T. (). Optimal Control Applied to Biological Models. Mathematical and Computational Biology Series. Chapman & Hall/ CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
- ^ Mădălina Buneci, Metode de Optimizare Cap.IV.7 Funcții convexe, Universitatea Constantin Brâncuși din Târgu Jiu, p. 1, accesat 2023-09-05
- ^ en Rudin, Walter (). Analysis. p. 101.
- ^ en Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M.; Hays, D. F. (). „Table of Integrals, Series, and Products”. Journal of Lubrication Technology. 98 (3): 479. doi:10.1115/1.3452897
. ISSN 0022-2305.
- ^ en Hass, Joel (). Thomas' calculus. Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D.,, Thomas, George B., Jr. (George Brinton), 1914-2006. (ed. Fourteenth). [United States]. p. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC 965446428.
- ^ en Varian, Hal R. (). Microeconomic analysis (ed. 3rd). New York: Norton. p. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC 24847759.
- ^ en Cover, Thomas M.; Thomas, J. A. (). „Determinant inequalities via information theory”. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 9 (3): 384–392. doi:10.1137/0609033.
Lectură suplimentară
- en Crouzeix, J.-P. (). „Quasi-concavity”. În Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. The New Palgrave Dictionary of Economics (ed. Second). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
- en Rao, Singiresu S. (). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. p. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.
Vezi și
![]() | Portal Matematică |