Entropie statistică

Entropia statistică este o noțiune introdusă de Ludwig Boltzmann în 1870 și definită de formula ${\displaystyle S=k_{B}\ln \Omega \!}$. Pentru a o defini, se consideră un sistem macroscopic, cu o anumită macrostare, și se numerotează microstările corespunzătoare prin 1, 2, ..., i, ...; probabilitatea ca sistemul să se afle în starea i este w_i.

Deoarece nu se precizează condițiile concrete în care se află sistemul, valorile probabilităților w_i nu se cunosc; singurul lucru cunoscut este condiția de normare ${\displaystyle {\sum _{i}^{\mathrm {} \;\mathrm {} }w_{i}}=1}$.

În locul sistemului dat, se consideră un ansamblu format dintr-un număr mare de sisteme identice, fiecare având aceleași probabilități w_i de a se afla în microstarea i. Numărul de microstări ale ansamblului corespunzator situației în care n₁ sisteme se află în starea 1, n₂ sisteme se află în starea 2, etc, adică ponderea statistică Ω_n este: Ω_n=${\displaystyle {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{i}!...}}}$.

Cu alte cuvinte, Ω_n reprezintă numărul de moduri în care se poate realiza distribuția particulară (n1, n2, etc).

Conform definiției lui Boltzmann, rezultă că entropia ansamblului considerat anterior este dată de expresia: ${\displaystyle S=k_{B}\ln \Omega \!=k_{B}\ln \ {{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{i}!...}}=k_{B}(lnn!-{\sum _{i}^{\mathrm {} \;\mathrm {} }n_{i}!)}}}$.

Folosind formula lui Stirling: ln n!=n ln n - n, si ca ${\displaystyle {\sum _{i}^{\mathrm {} \;\mathrm {} }n_{i}!}=n}$, și de asemenea relația S_n=nS, expresia de mai sus devine:

${\displaystyle S=-k_{B}\,\sum _{i}w_{i}\ln \,w_{i}}$