Elicoid
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Helicoid.svg/330px-Helicoid.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/H%C3%A9lico%C3%AFde.stl/220px-H%C3%A9lico%C3%AFde.stl.png)
În geometrie elicoidul,[1][2] sau suprafață elicoidală, este o suprafață generată de o dreaptă care se sprijină pe o elice și pe axa ei. După plan și catenoidă, este a treia suprafață minimală(d) cunoscută.[2]
Descriere
A fost descrisă de Leonhard Euler în 1774 și de Jean Baptiste Meusnier în 1776. Numele provine din asemănarea sa cu elicea: pentru fiecare punct de pe elicoid, există o spirală(d) cuprinsă în elicoid care trece prin acel punct. Întrucât se consideră că domeniul planar se extinde de la infinitul negativ până la cel pozitiv, observarea atentă arată apariția a două plane paralele sau în oglindă în sensul că dacă este trasată panta unui plan, coplanul poate fi văzut ca fiind ocolit sau sărit, deși în realitate co-planul este urmărit și din perspectivă opusă.
Elicoidul este o suprafață riglată(d) (și un conoid drept), ceea ce înseamnă că este o urmă a unei linii. Alternativ, pentru orice punct de pe suprafață, există o dreaptă pe suprafață care trece prin acesta. Eugène Charles Catalan a dovedit în 1842 că elicoidul și planul erau singurele suprafețe minimale riglate.[3]
În sensul geometriei diferențiale, un elicoid este o suprafață de translație. Elicoidul și catenoida sunt suprafețe minimale.[2]
Elicoidul are forma șurubului lui Arhimede, dar se extinde la infinit în direcția axei sale. Poate fi descris prin următoarele ecuații parametrice în coordonate carteziene:
unde ρ și θ merg de la infinitul negativ la cel pozitiv, în timp ce α este constant. Dacă α este pozitiv, atunci elicoidul este „pe dreapta”, cum apare în figură, iar dacă este negativ, elicoidul este „pe stânga”.
Elicoidul are curburile principale(d) . Suma acestor mărimi dă curbura medie(d) (zero deoarece elicoidul este o suprafață minimală) iar produsul dă curbura gaussiană(d).
Elicoidul este homeomorf(d) cu planul . Pentru a vedea acest lucru, se lasă α să scadă continuu de la valoarea sa dată până la zero. Fiecare valoare intermediară a lui α va descrie un elicoid diferit, până când α = 0 este atins și elicoidul devine un plan.
Invers, un plan poate fi transformat într-un elicoid alegând o dreaptă (axa) din plan, apoi răsucind planul în jurul acelei axe.
Dacă un elicoid cu raza R se rotește cu un unghi de θ în jurul axei sale în timp ce se ridică cu o înălțime h, aria suprafeței parcurse este dată de:[4]
- unde
Elicoidul și catenoida
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Helicatenoid.gif)
Elicoidul și catenoida sunt suprafețe local izometrice.
Note
- ^ „elicoid” la DEX online
- ^ a b c Andrei Dan Halanay, Curs de geometrie, Universitatea din București, accesat 2022-09-14
- ^ en Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin (contributor A. A. Tuzhilin), Published by AMS Bookstore, 1991, ISBN: 0-8218-4552-7, ISBN: 978-0-8218-4552-3, p. 33
- ^ en Eric W. Weisstein, Elicoid la MathWorld.
Legături externe
![]() | Portal Matematică |
Materiale media legate de elicoid la Wikimedia Commons
- en Hazewinkel, Michiel, ed. (), „Helicoid”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
- en WebGL-based Interactive 3D Helicoid